Determine a função
que rege o decaimento da amplitude (relativa à amplitude do pulso incidente em
) do pulso preso na corda finita em
. Despreze os tempos de interação dos pulsos com a interface e com a parede.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Precisamos determinar a função
que descreve o decaimento da amplitude de um pulso em uma corda finita para tempos
. A amplitude é relativa à amplitude do pulso incidente para
. Além disso, podemos desconsiderar os tempos de interação dos pulsos com a interface e com a parede.
Nesse problema, estamos lidando com ondas em cordas finitas e decaimento de amplitude, que envolve conceitos de reflexão e transmissão de ondas e atenuação ao longo do tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em uma corda finita, quando um pulso atinge a extremidade fixa (a parede), ele é refletido invertido. Isso significa que a amplitude do pulso refletido será oposta à do pulso incidente.
A função de decaimento
representa como a amplitude do pulso muda ao longo do tempo após ser preso na corda. Para
, temos apenas o pulso incidente com amplitude normalizada, ou seja,
.
Passo 3
Para
, o pulso refletido começa a interferir com o pulso incidente. Como a corda é finita e fixa nas extremidades, cada reflexão alterna o sinal do pulso. Isso leva a um comportamento periódicodecaimento.
A função exponencial é frequentemente usada para modelar decaimento, então podemos supor que
terá uma forma exponencial multiplicada por uma função periódica.
Passo 4
Assumindo que o decaimento é devido a algum tipo de resistência ou dissipação na corda, podemos modelar
como:
Aqui:
-
é a constante de decaimento que determina quão rápido a amplitude diminui. -
é a frequência angular da onda na corda.
Passo 5
Para determinar os valores de
e
, precisaríamos de mais informações sobre as propriedades da corda, como a massa por unidade de comprimento e a tensão na corda. No entanto, a questão pede apenas a forma geral da função.
Portanto, a função que rege o decaimento da amplitude do pulso preso na corda finita para
é dada por: