Determine a função que rege o decaimento da amplitude (relativa à amplitude do pulso incidente em ) do pulso preso na corda finita em . Despreze os tempos de interação dos pulsos com a interface e com a parede.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Precisamos determinar a função que descreve o decaimento da amplitude de um pulso em uma corda finita para tempos . A amplitude é relativa à amplitude do pulso incidente para . Além disso, podemos desconsiderar os tempos de interação dos pulsos com a interface e com a parede.
Nesse problema, estamos lidando com ondas em cordas finitas e decaimento de amplitude, que envolve conceitos de reflexão e transmissão de ondas e atenuação ao longo do tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em uma corda finita, quando um pulso atinge a extremidade fixa (a parede), ele é refletido invertido. Isso significa que a amplitude do pulso refletido será oposta à do pulso incidente.
A função de decaimento representa como a amplitude do pulso muda ao longo do tempo após ser preso na corda. Para , temos apenas o pulso incidente com amplitude normalizada, ou seja, .

Passo 3

Para , o pulso refletido começa a interferir com o pulso incidente. Como a corda é finita e fixa nas extremidades, cada reflexão alterna o sinal do pulso. Isso leva a um comportamento periódicodecaimento.
A função exponencial é frequentemente usada para modelar decaimento, então podemos supor que terá uma forma exponencial multiplicada por uma função periódica.

Passo 4

Assumindo que o decaimento é devido a algum tipo de resistência ou dissipação na corda, podemos modelar como:
Aqui:
  • é a constante de decaimento que determina quão rápido a amplitude diminui.
  • é a frequência angular da onda na corda.

Passo 5

Para determinar os valores de e , precisaríamos de mais informações sobre as propriedades da corda, como a massa por unidade de comprimento e a tensão na corda. No entanto, a questão pede apenas a forma geral da função.
Portanto, a função que rege o decaimento da amplitude do pulso preso na corda finita para é dada por:

Resposta

Exercícios relacionados

Repita os ítens (a) e (b) do problema anterior para uma solução do tipo
Por que é razoável supor que as frequências são as mesmas nas duas cordas de densidades diferentes, mas os comprimentos de onda não?
Atribua uma potência média para cada um dos três pulsos de amplitudes e . Calcule as três potências , de acordo com a fórmula
deduzida no problema anterior. Verifique que a conservação da energia corrresponde à igualdade sobre os coeficietes de transmissão e reflexão e as impedâncias das cordas (veja comentário ao final da página 14 do arquivo mencionado).
A densidade média da crosta terrestre 10 km abaixo da superfície é de . A velocidade das ondas longitudinais sísmicas a essa profundidade, encontrada a partir da medida do tempo em que chegam, vindas de terremotos distantes, é de . Se a intensidade do terremoto a 100 km da fonte é , qual será a intensidade a 400 km do epicentro? Admita a onda como esférica.
A respeito das propriedades das ondas, são feitas as seguintes afirmações:
I. As ondas sonoras no ar são vibrações mecânicas que se propagam de modo longitudinal;
II. A luz é uma onda eletromagnética, transversal e pode se propagar no vácuo;
III. Uma onda é uma perturbação que se propaga no espaço e transporta matéria;
IV. Ondas mecânicas se propagam mais rapidamente que as ondas eletromagnéticas.
Das afirmativas acima, estão corretas apenas:
a) I e II
b) I, II e III
c) I e III
d) II e III
e) I, II e IV