Determine a função f(t) que rege o decaimento da amplitude (relativa à amplitude do pulso incidente em t<0 ) do pulso preso na corda finita em t>0. Despreze os tempos de interação dos pulsos com a interface e com a parede.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Precisamos determinar a função que descreve o decaimento da amplitude de um pulso em uma corda finita para tempos . A amplitude é relativa à amplitude do pulso incidente para . Além disso, podemos desconsiderar os tempos de interação dos pulsos com a interface e com a parede.
Nesse problema, estamos lidando com ondas em cordas finitas e decaimento de amplitude, que envolve conceitos de reflexão e transmissão de ondas e atenuação ao longo do tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em uma corda finita, quando um pulso atinge a extremidade fixa (a parede), ele é refletido invertido. Isso significa que a amplitude do pulso refletido será oposta à do pulso incidente.
A função de decaimento representa como a amplitude do pulso muda ao longo do tempo após ser preso na corda. Para , temos apenas o pulso incidente com amplitude normalizada, ou seja, .

Passo 3

Para , o pulso refletido começa a interferir com o pulso incidente. Como a corda é finita e fixa nas extremidades, cada reflexão alterna o sinal do pulso. Isso leva a um comportamento periódicodecaimento.
A função exponencial é frequentemente usada para modelar decaimento, então podemos supor que terá uma forma exponencial multiplicada por uma função periódica.

Passo 4

Assumindo que o decaimento é devido a algum tipo de resistência ou dissipação na corda, podemos modelar f(t) = e^-alpha t cos(omega t) como:
Aqui:
  • é a constante de decaimento que determina quão rápido a amplitude diminui.
  • é a frequência angular da onda na corda.

Passo 5

Para determinar os valores de e , precisaríamos de mais informações sobre as propriedades da corda, como a massa por unidade de comprimento e a tensão na corda. No entanto, a questão pede apenas a forma geral da função.
Portanto, a função que rege o decaimento da amplitude do pulso preso na corda finita para é dada por:

Resposta

f(t) = e^-alpha t cos(omega t)

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