Repita os ítens (a) e (b) do problema anterior para uma solução do tipo
Por que é razoável supor que as frequências são as mesmas nas duas cordas de densidades diferentes, mas os comprimentos de onda não?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente analisar duas cordas com densidades diferentes usando as funções de onda dadas:
O conteúdo aqui é ondas nas cordas, onde precisamos entender como frequência ( ) e comprimento de onda ( ) se comportam em cordas com densidades diferentes. Vamos precisar saber como a velocidade da onda está relacionada com a densidade e como frequência e comprimento de onda se conectam.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a relação básica entre velocidade da onda ( ), frequência ( ) e comprimento de onda ( ):
Aqui, , então podemos também escrever:
onde é o número de onda.

Passo 3

Agora, a velocidade da onda em uma corda depende da tensão ( ) e da densidade linear ( ) da corda:
Então, se temos duas cordas com densidades diferentes ( e ), as velocidades das ondas nelas serão diferentes:

Passo 4

Mas o exercício sugere que as frequências são as mesmas nas duas cordas ( ). Se substituirmos na relação , temos:
Como devido às diferentes densidades, para manter constante, os (números de onda) devem ser diferentes.

Passo 5

Lembrando que , se , então os comprimentos de onda e também serão diferentes:
Então, como as velocidades diferentes estao ligadas a diferentes densidades, para manter a mesma frequência, os comprimentos de onda precisam se ajustar.

Resposta

É razoável supor que as frequências são iguais nas duas cordas de densidades diferentes porque, para uma mesma tensão, diferentes densidades resultam em velocidades de onda distintas. Para manter a frequência constante, os comprimentos de onda devem variar inversamente com a velocidade. Assim, frequências iguais implicam comprimentos de onda diferentes nas cordas com densidades distintas.

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