Repita os ítens (a) e (b) do problema anterior para uma solução do tipo
Por que é razoável supor que as frequências são as mesmas nas duas cordas de densidades diferentes, mas os comprimentos de onda não?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente analisar duas cordas com densidades diferentes usando as funções de onda dadas:
O conteúdo aqui é ondas nas cordas, onde precisamos entender como frequência (
) e comprimento de onda (
) se comportam em cordas com densidades diferentes. Vamos precisar saber como a velocidade da onda está relacionada com a densidade e como frequência e comprimento de onda se conectam.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a relação básica entre velocidade da onda (
), frequência (
) e comprimento de onda (
):
Aqui,
, então podemos também escrever:
onde
é o número de onda.
Passo 3
Agora, a velocidade da onda em uma corda depende da tensão (
) e da densidade linear (
) da corda:
Então, se temos duas cordas com densidades diferentes (
e
), as velocidades das ondas nelas serão diferentes:
Passo 4
Mas o exercício sugere que as frequências são as mesmas nas duas cordas (
). Se substituirmos na relação
, temos:
Como
devido às diferentes densidades, para manter
constante, os
(números de onda) devem ser diferentes.
Passo 5
Lembrando que
, se
, então os comprimentos de onda
e
também serão diferentes:
Então, como as velocidades diferentes estao ligadas a diferentes densidades, para manter a mesma frequência, os comprimentos de onda precisam se ajustar.
Resposta
É razoável supor que as frequências são iguais nas duas cordas de densidades diferentes porque, para uma mesma tensão, diferentes densidades resultam em velocidades de onda distintas. Para manter a frequência constante, os comprimentos de onda devem variar inversamente com a velocidade. Assim, frequências iguais implicam comprimentos de onda diferentes nas cordas com densidades distintas.