Repita os ítens (a) e (b) do problema anterior para uma solução do tipo
Por que é razoável supor que as frequências são as mesmas nas duas cordas de densidades diferentes, mas os comprimentos de onda não?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente analisar duas cordas com densidades diferentes usando as funções de onda dadas:
O conteúdo aqui é ondas nas cordas, onde precisamos entender como frequência (
) e comprimento de onda (
) se comportam em cordas com densidades diferentes. Vamos precisar saber como a velocidade da onda está relacionada com a densidade e como frequência e comprimento de onda se conectam.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a relação básica entre velocidade da onda (
), frequência (
) e comprimento de onda (
):
Aqui,
, então podemos também escrever:
onde
é o número de onda.
Passo 3
Agora, a velocidade da onda em uma corda depende da tensão (
) e da densidade linear (
) da corda:
Então, se temos duas cordas com densidades diferentes (
e
), as velocidades das ondas nelas serão diferentes:
Passo 4
Mas o exercício sugere que as frequências são as mesmas nas duas cordas (
). Se substituirmos na relação
, temos:
Como
devido às diferentes densidades, para manter
constante, os
(números de onda) devem ser diferentes.
Passo 5
Lembrando que
, se
, então os comprimentos de onda
e
também serão diferentes:
Então, como as velocidades diferentes estao ligadas a diferentes densidades, para manter a mesma frequência, os comprimentos de onda precisam se ajustar.
Resposta
É razoável supor que as frequências são iguais nas duas cordas de densidades diferentes porque, para uma mesma tensão, diferentes densidades resultam em velocidades de onda distintas. Para manter a frequência constante, os comprimentos de onda devem variar inversamente com a velocidade. Assim, frequências iguais implicam comprimentos de onda diferentes nas cordas com densidades distintas.
Exercícios relacionados
Atribua uma potência média para cada um dos três pulsos de amplitudes
e
. Calcule as três potências
, de acordo com a fórmula
deduzida no problema anterior. Verifique que a conservação da energia corrresponde à igualdade
sobre os coeficietes de transmissão
e reflexão
e as impedâncias das cordas
(veja comentário ao final da página 14 do arquivo mencionado).
deduzida no problema anterior. Verifique que a conservação da energia
Analise e faça um esbolço dos pulsos presentes no sistema para tempos
e
. É importante lembrar que essas soluções são válidas nos domínios especficados para cada corda e nulas fora desses domínios, isto é,
para
, simplesmente porque não existe corda
para
.
Determine a função
que rege o decaimento da amplitude (relativa à amplitude do pulso incidente em
) do pulso preso na corda finita em
. Despreze os tempos de interação dos pulsos com a interface e com a parede.
A densidade média da crosta terrestre 10 km abaixo da superfície é de
. A velocidade das ondas longitudinais sísmicas a essa profundidade, encontrada a partir da medida do tempo em que chegam, vindas de terremotos distantes, é de
. Se a intensidade do terremoto a 100 km da fonte é
, qual será a intensidade a 400 km do epicentro? Admita a onda como esférica.