Repita os ítens (a) e (b) do problema anterior para uma solução do tipo
psi-=A- cos (k- x-omega t)+B- cos (k- x+omega t) e psi+=A+ cos (k+ x-omega t)
Por que é razoável supor que as frequências são as mesmas nas duas cordas de densidades diferentes, mas os comprimentos de onda não?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente analisar duas cordas com densidades diferentes usando as funções de onda dadas:
psi-=A- cos (k- x-omega t)+B- cos (k- x+omega t)
psi+=A+ cos (k+ x-omega t)
O conteúdo aqui é ondas nas cordas, onde precisamos entender como frequência ( omega) e comprimento de onda ( lambda) se comportam em cordas com densidades diferentes. Vamos precisar saber como a velocidade da onda está relacionada com a densidade e como frequência e comprimento de onda se conectam.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a relação básica entre velocidade da onda ( v), frequência ( f) e comprimento de onda ( lambda):
v = f lambda
Aqui, omega = 2pi f, então podemos também escrever:
v = omegak
onde k = 2pilambda é o número de onda.

Passo 3

Agora, a velocidade da onda em uma corda depende da tensão ( T) e da densidade linear ( mu) da corda:
v = raizTmu
Então, se temos duas cordas com densidades diferentes ( mu- e mu+), as velocidades das ondas nelas serão diferentes:
v- = raizTmu- e v+ = raizTmu+

Passo 4

Mas o exercício sugere que as frequências são as mesmas nas duas cordas ( omega- = omega+ = omega). Se substituirmos na relação v = omegak, temos:
v- = omegak- e v+ = omegak+
Como v- neq v+ devido às diferentes densidades, para manter omega constante, os k (números de onda) devem ser diferentes.

Passo 5

Lembrando que k = 2pilambda, se k- neq k+, então os comprimentos de onda lambda- e lambda+ também serão diferentes:
lambda- = 2pik- e lambda+ = 2pik+
Então, como as velocidades diferentes estao ligadas a diferentes densidades, para manter a mesma frequência, os comprimentos de onda precisam se ajustar.

Resposta

É razoável supor que as frequências são iguais nas duas cordas de densidades diferentes porque, para uma mesma tensão, diferentes densidades resultam em velocidades de onda distintas. Para manter a frequência constante, os comprimentos de onda devem variar inversamente com a velocidade. Assim, frequências iguais implicam comprimentos de onda diferentes nas cordas com densidades distintas.

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