Determine se a função
abaixo é contínua em
, calcule
e
, se existirem e determine se
é derivável.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se a função
é contínua em
, calcular as derivadas laterais
e
se elas existirem, e ver se
é derivável nesse ponto. Para isso, vamos usar os conceitos de continuidade e derivabilidade de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a função
é contínua em
. Para isso, precisamos checar se o limite quando
se aproxima de 2 pela esquerda é igual ao limite quando
se aproxima de 2 pela direita, e se ambos são iguais ao valor da função em
.
Passo 3
Vamos calcular o limite pela esquerda, ou seja, quando
se aproxima de 2 indo de valores menores que 2 (
):
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite pela direita, quando
se aproxima de 2 vindo de valores maiores ou iguais a 2 (
):
Passo 5
O valor da função em
é dado por
. Como
, usamos a segunda parte da função:
Passo 6
Como o limite pela esquerda, o limite pela direita e o valor da função em
são todos iguais a 0, concluímos que
é contínua em
.
Passo 7
Agora, vamos calcular as derivadas laterais em
. Primeiro, a derivada pela esquerda (
):
A função para
é
. A derivada dessa função é:
Então,
Passo 8
Agora, a derivada pela direita (
):
A função para
é
. Podemos reescrever como
. A derivada dessa função é:
Então,
Aqui, vemos que
tende ao infinito. Ou seja, a derivada pela direita não existe porque não é finita.
Passo 9
Como a derivada pela esquerda é 4 e a derivada pela direita não existe, as derivadas laterais não são iguais nem ambas existem. Portanto, a função
não é derivável em
.
Resposta
A função
é contínua em
. A derivada pela esquerda em 2 é 4, a derivada pela direita não existe, e, portanto,
não é derivável em
.