Determine se a função f(x) abaixo é contínua em x1, calcule f' - (x1) e f' + (x1), se existirem e determine se f(x) é derivável.
f(x) = { x^2 - 4 se x < 2, raiz(x - 2) se x ≥ 2, x1 = 2 }

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se a função é contínua em , calcular as derivadas laterais e se elas existirem, e ver se é derivável nesse ponto. Para isso, vamos usar os conceitos de continuidade e derivabilidade de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a função é contínua em . Para isso, precisamos checar se o limite quando se aproxima de 2 pela esquerda é igual ao limite quando se aproxima de 2 pela direita, e se ambos são iguais ao valor da função em .

Passo 3

Vamos calcular o limite pela esquerda, ou seja, quando se aproxima de 2 indo de valores menores que 2 ( ):

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite pela direita, quando se aproxima de 2 vindo de valores maiores ou iguais a 2 ( ):

Passo 5

O valor da função em é dado por . Como , usamos a segunda parte da função:

Passo 6

Como o limite pela esquerda, o limite pela direita e o valor da função em são todos iguais a 0, concluímos que é contínua em .

Passo 7

Agora, vamos calcular as derivadas laterais em . Primeiro, a derivada pela esquerda ( ):
A função para é . A derivada dessa função é:
Então,

Passo 8

Agora, a derivada pela direita ( ):
A função para é . Podemos reescrever como . A derivada dessa função é:
Então,
Aqui, vemos que tende ao infinito. Ou seja, a derivada pela direita não existe porque não é finita.

Passo 9

Como a derivada pela esquerda é 4 e a derivada pela direita não existe, as derivadas laterais não são iguais nem ambas existem. Portanto, a função não é derivável em .

Resposta

A função é contínua em . A derivada pela esquerda em 2 é 4, a derivada pela direita não existe, e, portanto, não é derivável em .

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