• E a região do primeiro octante limitada pelos planos x=0, y=0, z=0 e x+ y+z=2.
  • f(x, y, z)=8 x+8 y
    Calcule
integral triplaE f(x, y, z) d V

Passo 1

Vamos calcular a integral tripla da função na região do primeiro octante, que é limitada pelos planos , , e . Para isso, vamos usar conceitos de integrais múltiplas e determinar os limites de integração.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar os limites de em termos de e . A equação pode ser rearranjada para . Então, varia de 0 a .

Passo 3

Em seguida, determinamos os limites para . Para um valor fixo de , varia de 0 a .

Passo 4

Finalmente, varia de 0 a 2, já que não pode ser negativo e a soma limita a no máximo 2.

Passo 5

Agora, podemos escrever a integral tripla com os limites determinados:
integral triplaE f(x, y, z) , dV = integral0^2 integral0^2 - x integral0^2 - x - y (8x + 8y) , dz , dy , dx

Passo 6

Vamos integrar primeiro em relação a integral0^2 - x - y (8x + 8y) , dz = (8x + 8y)(2 - x - y) :

Passo 7

Agora, integramos em relação a integral0^2 - x (8x + 8y)(2 - x - y) , dy :
integral0^2 - x (16x - 8x^2 - 8xy + 16y - 8xy - 8y^2) , dy
Expandindo a expressão:
16x y - 8x^2 y - 4x y^2 + 8y^2 - 8x y^22 - 8 y^33 |0^2 - x
Integrando termo a termo:

Passo 8

Finalmente, integramos em relação a e simplificamos o resultado para encontrar o valor final da integral.

Resposta

A integral tripla avaliada é igual a .

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