E a região do primeiro octante limitada pelos planos e .
Calcule
Passo 1
Vamos calcular a integral tripla da função na região do primeiro octante, que é limitada pelos planos , , e . Para isso, vamos usar conceitos de integrais múltiplas e determinar os limites de integração.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar os limites de em termos de e . A equação pode ser rearranjada para . Então, varia de 0 a .
Passo 3
Em seguida, determinamos os limites para . Para um valor fixo de , varia de 0 a .
Passo 4
Finalmente, varia de 0 a 2, já que não pode ser negativo e a soma limita a no máximo 2.
Passo 5
Agora, podemos escrever a integral tripla com os limites determinados:
Passo 6
Vamos integrar primeiro em relação a :
Passo 7
Agora, integramos em relação a :
Expandindo a expressão:
Integrando termo a termo:
Passo 8
Finalmente, integramos em relação a e simplificamos o resultado para encontrar o valor final da integral.