Determine o volume do sólido localizado no primeiro octante limitado pelas seguintes superfícies:
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos determinar o volume de um sólido que está localizado no primeiro octante. O primeiro octante é a parte do espaço onde todas as coordenadas
,
e
são positivas (
,
,
). As superfícies que delimitam esse sólido são:
Para resolver esse problema, vamos usar a integração tripla em coordenadas cartesianas, que nos permite calcular o volume de sólidos delimitados por superfícies.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as superfícies que limitam o sólido:
-
Planos coordenados:
-
: plano yz -
: plano xz -
: plano xy
-
-
Superfícies adicionais:
-
: é uma parábola que se abre para a esquerda no plano xy. -
pode ser rearranjada para , que é um plano inclinado.
-
Vamos identificar os limites de integração para
,
e
.
Passo 3
Primeiro, encontramos as interseções das superfícies para determinar os limites:
-
Entre
e os planos e : - Quando
: → . No primeiro octante, consideramos . - Quando
: .
- Quando
-
Entre
e os planos , , : - Para
: → . No primeiro octante, isso não ocorre, pois e são positivos, então será sempre positivo.
- Para
Portanto, o sólido está limitado por:
Passo 4
Agora, configuramos a integral tripla para calcular o volume
:
Vamos resolver a integral passo a passo.
Passo 5
Primeiro, integramos em relação a
:
Agora, a integral fica:
Passo 6
Integramos em relação a
:
Substituindo os limites:
Expandindo os termos:
Simplificando:
Agora, a integral fica:
Passo 7
Finalmente, integramos em relação a
:
Substituindo
:
Calculando cada termo:
Somando:
Resposta
O volume do sólido é aproximadamente
unidades cúbicas.