Determine o volume do sólido localizado no primeiro octante limitado pelas seguintes superfícies:
x = 0; y = 0; z = 0; x = 1 - y^2; 2 + 8x + 7y - z = 0

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos determinar o volume de um sólido que está localizado no primeiro octante. O primeiro octante é a parte do espaço onde todas as coordenadas , e são positivas ( , , ). As superfícies que delimitam esse sólido são:
Para resolver esse problema, vamos usar a integração tripla em coordenadas cartesianas, que nos permite calcular o volume de sólidos delimitados por superfícies.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as superfícies que limitam o sólido:
  1. Planos coordenados:
    • : plano yz
    • : plano xz
    • : plano xy
  2. Superfícies adicionais:
    • : é uma parábola que se abre para a esquerda no plano xy.
    • pode ser rearranjada para , que é um plano inclinado.
Vamos identificar os limites de integração para , e .

Passo 3

Primeiro, encontramos as interseções das superfícies para determinar os limites:
  1. Entre e os planos e :
    • Quando : . No primeiro octante, consideramos .
    • Quando : .
  2. Entre e os planos , , :
    • Para : . No primeiro octante, isso não ocorre, pois e são positivos, então será sempre positivo.
Portanto, o sólido está limitado por:

Passo 4

Agora, configuramos a integral tripla para calcular o volume :
Vamos resolver a integral passo a passo.

Passo 5

Primeiro, integramos em relação a :
Agora, a integral fica:

Passo 6

Integramos em relação a :
Substituindo os limites:
Expandindo os termos:
Simplificando:
Agora, a integral fica:

Passo 7

Finalmente, integramos em relação a :
Substituindo :
Calculando cada termo:
Somando:

Resposta

O volume do sólido é aproximadamente unidades cúbicas.

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