Determine se a função é contínua em para algum valor de . Justifique sua resposta com argumentos consistentes.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para verificar se a função é contínua no ponto para algum valor de . Estamos trabalhando com o conteúdo de continuidade de funções multivariáveis. Para resolver isso, vamos precisar analisar o limite da função quando se aproxima de e ver se esse limite pode ser igual a .
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função dada:
Queremos saber se . Se isso for verdade, a função será contínua nesse ponto.
Passo 3
Vamos calcular o limite da função quando 2(3) + (-2) - 3(1) - 1 = 6 - 2 - 3 - 1 = 0 se aproxima de .
Observamos que no numerador temos , e , que todos vão a zero quando . No denominador, temos . Calculando no ponto:
Portanto, tanto o numerador quanto o denominador se aproximam de zero, resultando em uma forma indeterminada . Precisamos simplificar ou analisar mais a fundo.
Passo 4
Vamos fazer uma mudança de variável para simplificar. Definimos:
u = x - 3, v = y + 2, w = z - 1
Reescrevendo a função em termos de f(u, v, w) = u cdot v cdot w^2(2u + v - 3w)^4 :
Agora, queremos o limite quando .
Passo 5
Vamos analisar o limite:
lim(u,v,w) to (0,0,0) u cdot v cdot w^2(2u + v - 3w)^4
Para verificar se esse limite existe e é igual a , podemos testar diferentes caminhos de aproximação para .
Passo 6
Escolha um caminho onde t cdot (a t) cdot (b t)^2(2t + a t - 3b t)^4 = a b^2 t^4(2 + a - 3b)^4 t^4 = a b^2(2 + a - 3b)^4 , e , com . Substituindo:
Passo 7
Note que o resultado depende dos valores de e . Isso significa que o limite não é único, variando conforme o caminho escolhido para .
Passo 8
Como o limite depende do caminho de aproximação, concluímos que o limite não existe de forma única. Portanto, não é possível encontrar um valor de que iguale o limite e torne contínua em .
Resposta
A função não é contínua no ponto para nenhum valor de .