Considere a função g(x, y) = (x - 3y) / (x^2 - 6xy + 9y^2 + x - 3y).
Descreva e represente geometricamente o domínio de g(x, y).

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem a função . Nosso objetivo é descobrir o domínio dessa função, ou seja, todos os pares onde a função está bem definida. Para isso, vamos precisar entender o que determina o domínio de uma função racional e como identificar onde o denominador não é zero.

Passo 2

Primeiro, lembre-se que o domínio de uma função racional, como essa, é todo o conjunto de números reais, exceto onde o denominador é igual a zero. Então, vamos identificar onde o denominador é zero.

Passo 3

Vamos simplificar o denominador para facilitar a resolução. Perceba que é um quadrado perfeito: . Então, o denominador fica:

Passo 4

Agora, podemos fatorar :
Então, o denominador é produto de dois fatores: e .

Passo 5

Para que o denominador seja zero, pelo menos um dos fatores deve ser zero. Ou seja:
Resolvendo essas equações:

Passo 6

Essas duas equações representam duas retas no plano . Portanto, o denominador é zero nessas duas retas específicas. Como o domínio é onde o denominador não é zero, devemos excluir essas retas do conjunto de todos os pontos .

Passo 7

Geometricamente, o domínio de é todo o plano menos as duas retas e . Isso significa que o domínio é uma região contínua sem essas linhas específicas.

Resposta

O domínio de é todo o conjunto de números reais exceto os pontos que satisfazem e . Geometricamente, é o plano sem as duas retas e .

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