Considere a função
.
Determine, se existir, o valor de
para que a função
seja contínua no ponto
.
Determine, se existir, o valor de
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função
e precisa descobrir se existe um valor para
que faça a função ser contínua no ponto
. Isso envolve o conceito de continuidade de funções de duas variáveis e como calcular limites.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar o que acontece com o denominador quando
e
. Substituindo:
E o numerador também:
Então, temos uma forma indeterminada
no ponto
, o que significa que precisamos investigar o limite da função nesse ponto para ver se ele existe.
Passo 3
Vamos tentar simplificar a função para facilitar o cálculo do limite. Observando o denominador:
Então, o denominador pode ser fatorado como:
Agora, substituindo de volta na função:
Passo 4
Agora que simplificamos a função, podemos calcular o limite quando
se aproxima de
:
Substituindo
e
:
Então:
Resposta
Para que a função
seja contínua no ponto
, devemos definir
.
Exercícios relacionados
Considere a função
.
Descreva e represente geometricamente o domínio de .
Descreva e represente geometricamente o domínio de
Determine se a função
é contínua em
para algum valor de
. Justifique sua resposta com argumentos consistentes.
Considere a função
.
Determine o limite: com
sendo um ponto da reta
.
Determine o limite:
Escreva as funções abaixo na forma de funções composta e encontre as derivadas parciais em relação a
e
.