Determine a função linear f(x) = a*x + b cujo gráfico é uma reta que contém o ponto (2, -1) e que passa pelo vértice da parábola y = 4x - 2x^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a função linear que passa pelo ponto e pelo vértice da parábola . Vamos usar conceitos de funções lineares e características de parábolas para chegar na resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma função linear tem a forma , onde é o coeficiente angular (inclinação da reta) e é o coeficiente linear (interseção com o eixo y).

Passo 3

Sabemos que a reta passa pelo ponto . Isso significa que, se substituirmos e na equação da reta, teremos uma equação para encontrar e :
Simplificando:

Passo 4

Agora, precisamos encontrar o vértice da parábola . Para uma parábola da forma , o vértice pode ser encontrado usando as fórmulas:
é
No nosso caso, e , então:
Agora, para encontrar o valor de no vértice, substituímos na equação da parábola:
Então, o vértice é .

Passo 5

Sabemos que a reta também passa pelo vértice . Então, substituindo e na equação da reta:
Simplificando:

Passo 6

Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
Podemos resolver esse sistema subtraindo a segunda equação da primeira:

Passo 7

Com , substituímos na segunda equação para encontrar :

Resposta

A função linear desejada é .

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