Seja f: R -> R uma função quadrática tal que f(x) = a * x^2 + b * x + c, a ≠ 0, ∀ x ∈ R. Sabendo que x1 = -1 e x2 = 5 são raízes e que f(1) = -8, pede-se: Verifique se f apresenta máximo ou mínimo, justificando sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a gente tem aqui. A questão fala sobre uma função quadrática, que tem a forma geral , onde é diferente de zero. Sabemos que essa função tem duas raízes: e , e que quando , . O que precisamos descobrir é se essa função tem um máximo ou um mínimo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em uma função quadrática, o coeficiente determina se a parábola abre para cima ou para baixo. Se , a parábola abre para cima e tem um mínimo. Se , abre para baixo e tem um máximo.

Passo 3

Agora, como a gente sabe as raízes da função, podemos escrever a função de uma forma fatorada. Se as raízes são e , a função pode ser escrita como:

Passo 4

Vamos expandir essa expressão para encontrar os coeficientes , e :
Então, a função fica:

Passo 5

Sabemos que . Vamos substituir na função para encontrar o valor de :
E sabemos que , então:

Passo 6

Agora que encontramos , podemos concluir o seguinte:
  • Como , a parábola abre para cima.
  • Portanto, a função quadrática tem um mínimo.

Resposta

A função apresenta um mínimo, já que o coeficiente é positivo, indicando que a parábola abre para cima.

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