Determine a função de probabilidade condicional de X dado Y=i, i=1,2,3,4,5,6.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar a função de probabilidade condicional de dado que , onde pode ser 1, 2, 3, 4, 5 ou 6. Isso envolve conceito de probabilidade condicional, que nos ajuda a encontrar a probabilidade de um evento ocorrer, sabendo que outro evento já aconteceu. Para resolver isso, vamos precisar da definição de probabilidade condicional e das funções de probabilidade de e .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula da probabilidade condicional:
P(X | Y = i) = P(X cap Y = i)P(Y = i)
Isso significa que a probabilidade de ocorrer dado que é igual à probabilidade de ambos e ocorrerem, dividida pela probabilidade de .

Passo 3

Agora, precisamos determinar P(Y = i) = 16, para i = 1,2,3,4,5,6 e P(X cap Y = i) = P(X) cdot P(Y = i) . Supondo que e sejam variáveis aleatórias discretas que representam, por exemplo, os resultados de dois dados lançados simultaneamente:
  • é a probabilidade de obter o valor no dado . Como um dado justo tem 6 faces, temos:
  • é a probabilidade de assumir um valor específico e . Se e são independentes (como em dois lançamentos de dados justos), então:
Se também assume valores de 1 a 6, então para cada .

Passo 4

Substituindo na fórmula da probabilidade condicional:
P(X = x | Y = i) = P(X = x) cdot P(Y = i)P(Y = i) = P(X = x)
Como P(X = x | Y = i) = 16, para todos x = 1,2,3,4,5,6 , temos que:
Isso mostra que, dado , a probabilidade de ser qualquer valor de 1 a 6 permanece igual, indicando independência entre e .

Resposta

A função de probabilidade condicional de P(X = x | Y = i) = 16, para x = 1,2,3,4,5,6 dado para cada é:

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