Determine uma função vetorial r: I ⊆ R → R² tal que o traço de r seja:
(1.2) a elipse ((x-1)^(2)/4) + ((y+2)^(2)/9) = 1

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão pede para determinarmos uma função vetorial cujo traço é uma elipse dada pela equação .
Aqui, vamos precisar conhecer parametrizações de elipses e como transformar a equação geral da elipse em uma forma vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma elipse na forma padrão tem a equação , onde é o centro da elipse, e e são os semi-eixos maior e menor, respectivamente.
No nosso caso, comparando com a equação dada , vemos que:
  • Centro:
  • então
  • então

Passo 3

Sabendo disso, a parametrização padrão para uma elipse é:
Aqui, é o parâmetro que varia, geralmente de a , para percorrer toda a elipse.

Passo 4

Aplicando os valores que encontramos para , , e , temos:

Passo 5

Agora, juntando as duas componentes e em uma função vetorial, ficamos com:

Resposta

A função vetorial que descreve a elipse é:

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