Determine uma função vetorial
tal que o traço de
seja:
(1.2) a elipse
(1.2) a elipse
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão pede para determinarmos uma função vetorial
cujo traço é uma elipse dada pela equação
.
Aqui, vamos precisar conhecer parametrizações de elipses e como transformar a equação geral da elipse em uma forma vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma elipse na forma padrão tem a equação
, onde
é o centro da elipse, e
e
são os semi-eixos maior e menor, respectivamente.
No nosso caso, comparando com a equação dada
, vemos que:
- Centro:
-
então -
então
Passo 3
Sabendo disso, a parametrização padrão para uma elipse é:
Aqui,
é o parâmetro que varia, geralmente de
a
, para percorrer toda a elipse.
Passo 4
Aplicando os valores que encontramos para
,
,
e
, temos:
Passo 5
Agora, juntando as duas componentes
e
em uma função vetorial, ficamos com:
Resposta
A função vetorial que descreve a elipse é: