Resolva as equações fazendo as mudanças de variáveis sugeridas:
.
Passo 1
Aqui temos a equação diferencial
. Vamos resolver essa equação usando uma mudança de variável sugerida:
. Isso nos ajudará a simplificar a equação e encontrar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos expressar
em termos de
. Sabemos que
, então podemos escrever:
Agora, derivamos ambos os lados em relação a
:
Passo 3
Substituímos
e
na equação original:
Simplificando:
Passo 4
Multiplicamos todos os termos por
para eliminar os denominadores:
Rearranjando para isolar
:
Passo 5
Agora, temos uma equação diferencial linear na forma
, onde:
Vamos calcular o fator integrante
:
Passo 6
Multiplicamos a equação diferencial pelo fator integrante:
Simplificando:
Observe que o lado esquerdo agora é a derivada do produto
:
Passo 7
Integramos ambos os lados em relação a
:
Usando integração por partes, onde
e
, temos:
Então:
Passo 8
Resolvendo para
:
Passo 9
Lembrando que
, temos:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é a constante de integração.