Resolva as equações fazendo as mudanças de variáveis sugeridas: y' + 4/x y = -x^5 e^x y^2, v = y^(-1).

Passo 1

Aqui temos a equação diferencial . Vamos resolver essa equação usando uma mudança de variável sugerida: . Isso nos ajudará a simplificar a equação e encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos expressar em termos de . Sabemos que , então podemos escrever:
Agora, derivamos ambos os lados em relação a :

Passo 3

Substituímos e na equação original:
Simplificando:

Passo 4

Multiplicamos todos os termos por para eliminar os denominadores:
Rearranjando para isolar :

Passo 5

Agora, temos uma equação diferencial linear na forma , onde:
Vamos calcular o fator integrante :

Passo 6

Multiplicamos a equação diferencial pelo fator integrante:
Simplificando:
Observe que o lado esquerdo agora é a derivada do produto :

Passo 7

Integramos ambos os lados em relação a :
Usando integração por partes, onde e , temos:
Então:

Passo 8

Resolvendo para :

Passo 9

Lembrando que , temos:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é a constante de integração.

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