Determine as funções elementares
e
de modo que
, quando
é uma função real dada por uma das leis abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar duas funções elementares, chamadas
e
, de maneira que quando a gente aplica uma depois da outra (
), o resultado seja a função
. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre composição de funções e como identificar partes diferentes da função
que podemos separar em
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a função
. Ela é uma função composta porque envolve duas operações principais: a função cosseno (
) e uma potência com base 2 elevado ao resultado do cosseno. Isso significa que podemos pensar em
como uma parte da função e a exponenciação como outra parte.
Passo 3
Vamos definir a primeira função,
, como sendo a parte interna da função composta, ou seja, aquela que está dentro do cosseno. Então, podemos escolher:
Assim,
pega o valor de
e retorna o cosseno desse valor.
Passo 4
Agora, precisamos definir a segunda função,
, que vai receber o resultado de
e aplicar a exponenciação. Como na função
a base da potência é 2, podemos definir:
Aqui,
pega o valor que vem de
e eleva 2 a esse valor.
Passo 5
Vamos verificar se a composição
realmente dá a função
. Fazendo a substituição:
Perfeito! A composição das funções
e
resulta exatamente na função
que a gente queria.
Resposta
As funções
e
que satisfazem
são:
Exercícios relacionados
Determine o quociente e o resto da divisão de
por
.
e
.
Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Fatore as expressões a seguir:
Resolva as equações: