Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para isso, vamos usar alguns conceitos de séries alternadas e convergência absoluta.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa convergência absoluta. Uma série é absolutamente convergente se, ao retirarmos o sinal negativo dos termos, a série resultante também converge. Ou seja, se converge, então é absolutamente convergente.

Passo 3

Aplicando isso à nossa série, vamos considerar a série dos valores absolutos:

Passo 4

Agora, vamos analisar se essa nova série converge. Observamos que a série é muito parecida com a série harmônica , que sabemos que diverge. De fato, é maior que para todo , então a série dos valores absolutos também não converge.

Passo 5

Como a série dos valores absolutos não converge, a série original não é absolutamente convergente. Mas ainda temos a possibilidade dela ser condicionalmente convergente. Para verificar isso, usamos o Teste da Série Alternada.

Passo 6

O Teste da Série Alternada diz que, se os termos são positivos, decrescentes e tendem a zero quando vai para o infinito, então a série converge.

Passo 7

Vamos verificar essas condições:
  1. Positivos: para todo .
  2. Decrescentes: À medida que aumenta, aumenta, então diminui.
  3. Tendem a zero: .

Passo 8

Como todas as condições do teste são satisfeitas, a série converge.

Passo 9

Entretanto, já vimos que a série dos valores absolutos diverge. Portanto, a série original não é absolutamente convergente, mas sim condicionalmente convergente.

Resposta

A série é condicionalmente convergente.

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