Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para isso, vamos usar alguns conceitos de séries alternadas e convergência absoluta.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa convergência absoluta. Uma série é absolutamente convergente se, ao retirarmos o sinal negativo dos termos, a série resultante também converge. Ou seja, se converge, então é absolutamente convergente.
Passo 3
Aplicando isso à nossa série, vamos considerar a série dos valores absolutos:
Passo 4
Agora, vamos analisar se essa nova série converge. Observamos que a série é muito parecida com a série harmônica , que sabemos que diverge. De fato, é maior que para todo , então a série dos valores absolutos também não converge.
Passo 5
Como a série dos valores absolutos não converge, a série original não é absolutamente convergente. Mas ainda temos a possibilidade dela ser condicionalmente convergente. Para verificar isso, usamos o Teste da Série Alternada.
Passo 6
O Teste da Série Alternada diz que, se os termos são positivos, decrescentes e tendem a zero quando vai para o infinito, então a série converge.
Passo 7
Vamos verificar essas condições:
Positivos: para todo .
Decrescentes: À medida que aumenta, aumenta, então diminui.
Tendem a zero: .
Passo 8
Como todas as condições do teste são satisfeitas, a série converge.
Passo 9
Entretanto, já vimos que a série dos valores absolutos diverge. Portanto, a série original não é absolutamente convergente, mas sim condicionalmente convergente.