(a) Determine o gradiente de f.
(b) Calcule o gradiente no ponto P.
© Determine a taxa de variação de f em P na direção do vetor u.
10. f(x, y, z) = raiz(x + y * z), P(1, 3, 1), u = <2/7, 3/7, 6/7>

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma função e precisamos resolver três partes: determinar o gradiente de , calcular esse gradiente no ponto e, por fim, encontrar a taxa de variação de nesse ponto na direção do vetor . Para fazer isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como gradiente e derivadas direcionais.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar o gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais da função em relação às suas variáveis. Ou seja, se , então:
Para encontrar cada componente, precisamos calcular as derivadas parciais.

Passo 3

Vamos calcular cada derivada parcial:
  1. Derivada parcial em relação a :
  1. Derivada parcial em relação a :
  1. Derivada parcial em relação a :
Portanto, o gradiente de é:

Passo 4

Agora, vamos calcular o gradiente no ponto . Substituindo , e na expressão do gradiente:
Primeiro, calculamos :
Então, .
Agora, substituindo na expressão do gradiente:

Passo 5

Por último, vamos determinar a taxa de variação de no ponto na direção do vetor . A taxa de variação na direção de é dada pelo produto escalar entre o gradiente de em e :
Calculando o produto escalar:

Resposta

(a) O gradiente de é .
(b) No ponto , o gradiente é .
© A taxa de variação de em na direção do vetor é .

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