(a) Determine o gradiente de
.
(b) Calcule o gradiente no ponto
.
© Determine a taxa de variação de
em
na direção do vetor
.
10.
(b) Calcule o gradiente no ponto
© Determine a taxa de variação de
10.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma função
e precisamos resolver três partes: determinar o gradiente de
, calcular esse gradiente no ponto
e, por fim, encontrar a taxa de variação de
nesse ponto na direção do vetor
. Para fazer isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como gradiente e derivadas direcionais.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar o gradiente da função
. O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais da função em relação às suas variáveis. Ou seja, se
, então:
Para encontrar cada componente, precisamos calcular as derivadas parciais.
Passo 3
Vamos calcular cada derivada parcial:
- Derivada parcial em relação a
:
- Derivada parcial em relação a
:
- Derivada parcial em relação a
:
Portanto, o gradiente de
é:
Passo 4
Agora, vamos calcular o gradiente no ponto
. Substituindo
,
e
na expressão do gradiente:
Primeiro, calculamos
:
Então,
.
Agora, substituindo na expressão do gradiente:
Passo 5
Por último, vamos determinar a taxa de variação de
no ponto
na direção do vetor
. A taxa de variação na direção de
é dada pelo produto escalar entre o gradiente de
em
e
:
Calculando o produto escalar:
Resposta
(a) O gradiente de
é
.
(b) No ponto
, o gradiente é
.
© A taxa de variação de
em
na direção do vetor
é
.