Calcule integral duplaD 12 raizx^2+y^2 d A em que D é a metade superior do disco com centro na origem e raio 6

Passo 1

Vamos resolver um exercício de cálculo que envolve calcular uma integral dupla. Especificamente, precisamos calcular , onde é a metade superior de um disco com centro na origem e raio 6. Para isso, vamos usar coordenadas polares, já que a expressão sugere que essa mudança de coordenadas vai facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos converter a integral para coordenadas polares. Em coordenadas polares, temos:
x = r costheta e y = r sintheta
O elemento de área dA = r , dr , dtheta em coordenadas polares é dado por:
integral duplaD 12 raizx^2+y^2 , dA = integral duplaD 12 r cdot r , dr , dtheta = integral duplaD 12 r^2 , dr , dtheta
Além disso, . Assim, a integral original fica:

Passo 3

Agora, precisamos determinar os limites de integração. Como é a metade superior do disco com raio 6:
  • O raio varia de 0 a 6.
  • O ângulo varia de a radianos (ou 180 graus) para cobrir a metade superior.

Passo 4

Vamos escrever a integral com os limites encontrados:
integral0^pi integral0^6 12 r^2 , dr , dtheta
Primeiro, integramos em relação a integral0^6 12 r^2 , dr = 12 [ r^33 ]0^6 = 12 ( 6^33 - 0 ) = 12 times 72 = 864 :
integral0^pi 864 , dtheta = 864 times pi = 864pi
Em seguida, integramos em relação a :

Resposta

O valor da integral é .

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