Calcule
em que
é a metade superior do disco com centro na origem e raio 6
Passo 1
Vamos resolver um exercício de cálculo que envolve calcular uma integral dupla. Especificamente, precisamos calcular
, onde
é a metade superior de um disco com centro na origem e raio 6. Para isso, vamos usar coordenadas polares, já que a expressão
sugere que essa mudança de coordenadas vai facilitar a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos converter a integral para coordenadas polares. Em coordenadas polares, temos:
O elemento de área
em coordenadas polares é dado por:
Além disso,
. Assim, a integral original fica:
Passo 3
Agora, precisamos determinar os limites de integração. Como
é a metade superior do disco com raio 6:
- O raio
varia de 0 a 6. - O ângulo
varia de a radianos (ou 180 graus) para cobrir a metade superior.
Passo 4
Vamos escrever a integral com os limites encontrados:
Primeiro, integramos em relação a
:
Em seguida, integramos em relação a
:
Resposta
O valor da integral é
.