Determine uma equação do plano tangente à superfície no ponto especificado.
2. z = 3*(x-1)^(2) + 2*(y+3)^(2) + 7,
(1, 1, 1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para determinar a equação do plano tangente à superfície no ponto . Isso está relacionado ao cálculo de derivadas parciais e planos tangentes em cálculo multivariável.

Passo 2

Primeiro, precisamos verificar se o ponto realmente está na superfície. Substituindo e na equação da superfície:
Mas o ponto dado tem , que não coincide com . Parece que há uma inconsistência. Vamos supor que o ponto correto seja .

Passo 3

Para encontrar o plano tangente, precisamos das derivadas parciais da função em relação a e .
Calculando a derivada parcial em relação a :
Calculando a derivada parcial em relação a :

Passo 4

Agora, avaliamos essas derivadas no ponto :
Esses valores representam os coeficientes das direções e no plano tangente.

Passo 5

A equação do plano tangente pode ser escrita usando a fórmula:
Onde é o ponto de tangência.

Passo 6

Substituindo os valores que temos:
Simplificando:

Resposta

A equação do plano tangente à superfície no ponto é:

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