, é a parte do cilindro entre os planos , juntamente com os discos inferior e superior
Passo 1
Vamos resolver a integral de superfície , onde é a parte do cilindro entre os planos e , incluindo os discos inferior e superior.
Conteúdo: Cálculo de integrais de superfície usando coordenadas cilíndricas.
O que vamos precisar: Conhecimento sobre coordenadas cilíndricas, parametrização de superfícies, e cálculo de integrais múltiplas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a superfície . Ela consiste em três partes:
A parte lateral do cilindro: entre e .
O disco inferior: e .
O disco superior: e .
Vamos calcular a integral em cada uma dessas partes separadamente e depois somar os resultados.
Passo 3
Parte 1: Superfície Lateral do Cilindro
Em coordenadas cilíndricas, , , e . Para o cilindro , temos .
A área diferencial na superfície lateral do cilindro é .
A função que vamos integrar é .
Então, a integral fica:
Passo 4
Parte 2: Disco Inferior ()
No disco inferior, . A área diferencial em coordenadas cilíndricas é .
A função a integrar é .
Então, a integral fica:
Passo 5
Parte 3: Disco Superior ()
No disco superior, . A área diferencial é a mesma do disco inferior: .
A função a integrar é .
Então, a integral fica:
Passo 6
Calculando a Integral da Superfície Lateral
Vamos integrar de a e de a :
Calculando a integral interna:
Então:
Passo 7
Calculando a Integral do Disco Inferior
Vamos integrar integral0^2pi integral0^3 r^3 , dr , dtheta = integral0^2pi [ r^44 |0^3 ] dtheta = integral0^2pi 814 , dtheta = 814 cdot 2pi = 812 pi de a e de a :
Passo 8
Calculando a Integral do Disco Superior
Integrando integral0^2pi integral0^3 (r^2 + 4) r , dr , dtheta = integral0^2pi integral0^3 (r^3 + 4r) , dr , dtheta de integral0^3 (r^3 + 4r) , dr = r^44 + 2r^2 |0^3 = 814 + 18 = 814 + 724 = 1534 a integral0^2pi 1534 , dtheta = 1534 cdot 2pi = 1532 pi e de a :
Calculando a integral interna:
Então:
Passo 9
Somando Todas as Partes
Agora, somamos as três integrais:
124pi + 812 pi + 1532 pi = 124pi + 2342 pi = 124pi + 117pi = 241pi