integral duplaS(x^2+y^2+z^2) d S,
S é a parte do cilindro x^2+y^2=9 entre os planos z=0 e
z=2, juntamente com os discos inferior e superior

Passo 1

Vamos resolver a integral de superfície , onde é a parte do cilindro entre os planos e , incluindo os discos inferior e superior.
Conteúdo: Cálculo de integrais de superfície usando coordenadas cilíndricas.
O que vamos precisar: Conhecimento sobre coordenadas cilíndricas, parametrização de superfícies, e cálculo de integrais múltiplas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a superfície . Ela consiste em três partes:
  1. A parte lateral do cilindro: entre e .
  2. O disco inferior: e .
  3. O disco superior: e .
Vamos calcular a integral em cada uma dessas partes separadamente e depois somar os resultados.

Passo 3

Parte 1: Superfície Lateral do Cilindro
Em coordenadas cilíndricas, integral duplaSlateral (9 + z^2) cdot 3 , dtheta , dz , , e . Para o cilindro , temos .
A área diferencial na superfície lateral do cilindro é .
A função que vamos integrar é .
Então, a integral fica:

Passo 4

Parte 2: Disco Inferior ( integral duplaSinferior r^2 cdot r , dr , dtheta )
No disco inferior, . A área diferencial em coordenadas cilíndricas é .
A função a integrar é .
Então, a integral fica:

Passo 5

Parte 3: Disco Superior ( integral duplaSsuperior (r^2 + 4) cdot r , dr , dtheta )
No disco superior, . A área diferencial é a mesma do disco inferior: .
A função a integrar é .
Então, a integral fica:

Passo 6

Calculando a Integral da Superfície Lateral
Vamos integrar integral0^2pi integral0^2 (9 + z^2) cdot 3 , dz , dtheta = 3 integral0^2pi [ integral0^2 (9 + z^2) , dz ] dtheta de integral0^2 (9 + z^2) , dz = 9z + z^33 |0^2 = 18 + 83 = 623 a 3 integral0^2pi 623 , dtheta = 62 cdot integral0^2pi dtheta = 62 cdot 2pi = 124pi e de a :
Calculando a integral interna:
Então:

Passo 7

Calculando a Integral do Disco Inferior
Vamos integrar integral0^2pi integral0^3 r^3 , dr , dtheta = integral0^2pi [ r^44 |0^3 ] dtheta = integral0^2pi 814 , dtheta = 814 cdot 2pi = 812 pi de a e de a :

Passo 8

Calculando a Integral do Disco Superior
Integrando integral0^2pi integral0^3 (r^2 + 4) r , dr , dtheta = integral0^2pi integral0^3 (r^3 + 4r) , dr , dtheta de integral0^3 (r^3 + 4r) , dr = r^44 + 2r^2 |0^3 = 814 + 18 = 814 + 724 = 1534 a integral0^2pi 1534 , dtheta = 1534 cdot 2pi = 1532 pi e de a :
Calculando a integral interna:
Então:

Passo 9

Somando Todas as Partes
Agora, somamos as três integrais:
124pi + 812 pi + 1532 pi = 124pi + 2342 pi = 124pi + 117pi = 241pi

Resposta

A integral de superfície vale .

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