Determine h(x, y) = g(f(x, y)) e o conjunto no qual h é contínua.
g(t) = t + ln(t), f(x, y) = (1 - x * y) / (1 + x^2 * y^2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar a função que é a composição de duas funções, e . Além disso, vamos descobrir para quais valores de e essa função é contínua. Para resolver isso, vamos usar conceitos de composição de funções e continuidade. Vamos precisar manipular as expressões das funções dadas e lembrar das condições para que a função logarítmica esteja definida.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Isso quer dizer que a gente vai aplicar a função no resultado da função . Então, vamos substituir na expressão de .

Passo 3

A função é dada por:
E a função é:
Então, substituindo em , temos:
Ou seja:

Passo 4

Agora, vamos analisar onde essa função é contínua. Para isso, precisamos verificar as condições de continuidade das funções que compõem .
  1. A fração está definida para todos os valores de e , porque o denominador nunca é zero (já que ).
  2. A função logarítmica só está definida quando . Portanto, para que seja válida, precisamos que:
Como o denominador é sempre positivo, isso implica que o numerador também deve ser positivo:

Passo 5

Então, juntando tudo, a função é contínua para todos os pares que satisfazem . Isso porque nessas condições, a função logarítmica está bem definida e todas as operações envolvidas são contínuas.

Resposta

A função composta é dada por:
E é contínua no conjunto de todos os pares tais que:

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Trace o gráfico da função e observe onde ela é descontínua. Em seguida, utilize a fórmula para explicar o que você observou.
f(x, y) = e^(1 / (x - y))
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
lim (x, y, z) (0,0,0) y zx^2+4 y^2+9 z^2
Um silo que já continha certo volume de soja está recebendo mais grãos. Sabe-se que, 4 h após o início do enchimento, o silo tinha 400 m^3 de soja, e que são adicionados 60 m^3 de soja por hora.
a) Defina a função linear (ou afim) V(t) que fornece o volume de soja no silo decorridas t horas do inicio do enchimento.
b) Se o silo comporta 1.600 m³, determine o instante em que ele ficará cheio de soja.
O número de veículos de uma cidade cresceu linearmente a partir do ano 2000. Sabendo que a cidade tinha 150 mil veículos em 2004 e 210 mil veículos em 2012,
defina uma função que forneça o número de veículos (em milhares) em relação ao tempo (em anos) transcorrido desde o ano 2000;