Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um limite de uma função com três variáveis
,
e
quando elas todas tendem a zero. O enunciado é:
A matéria envolvida aqui é o cálculo de limites em funções de várias variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender como verificar se o limite existe ou não, testando diferentes caminhos de aproximação e utilizando desigualdades para estimar o valor da função.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar entender se o limite existe, ou seja, se a função se aproxima de um único valor independente do caminho que a gente seguir para chegar a
.
Uma maneira de fazer isso é verificar se, ao aproximarmos
de
por diferentes trajetórias, o limite da função é sempre o mesmo.
Passo 3
Vamos tentar alguns caminhos simples. Por exemplo, suponha que
. Então, a função fica:
Agora, se também definirmos, por exemplo,
, então temos:
Então, ao seguir o caminho
e
, o limite é
.
Passo 4
Agora, vamos tentar outro caminho. Por exemplo, suponha que
. A função então fica:
Então, ao seguir o caminho
, independentemente do valor de
ou
, o limite é 0.
Passo 5
Vemos que seguindo caminhos diferentes, obtivemos limites diferentes (
e 0). Isso indica que o limite depende do caminho escolhido, ou seja, o limite não existe.
Resposta
O limite não existe.
Exercícios relacionados
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
Utilize um gráfico feito por computador para explicar por que o limite não existe.
Trace o gráfico da função e observe onde ela é descontínua. Em seguida, utilize a fórmula para explicar o que você observou.
Determine
e o conjunto no qual
é contínua.