Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
lim (x, y, z) (0,0,0) y zx^2+4 y^2+9 z^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um limite de uma função com três variáveis lim (x, y, z) (0,0,0) y zx^2+4 y^2+9 z^2 , e quando elas todas tendem a zero. O enunciado é:
A matéria envolvida aqui é o cálculo de limites em funções de várias variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender como verificar se o limite existe ou não, testando diferentes caminhos de aproximação e utilizando desigualdades para estimar o valor da função.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar entender se o limite existe, ou seja, se a função se aproxima de um único valor independente do caminho que a gente seguir para chegar a .
Uma maneira de fazer isso é verificar se, ao aproximarmos de por diferentes trajetórias, o limite da função é sempre o mesmo.

Passo 3

Vamos tentar alguns caminhos simples. Por exemplo, suponha que y z0^2 + 4 y^2 + 9 z^2 = y z4 y^2 + 9 z^2 . Então, a função fica:
y cdot y4 y^2 + 9 y^2 = y^213 y^2 = 113
Agora, se também definirmos, por exemplo, , então temos:
Então, ao seguir o caminho e , o limite é .

Passo 4

Agora, vamos tentar outro caminho. Por exemplo, suponha que 0 cdot zx^2 + 4 cdot 0^2 + 9 z^2 = 0 . A função então fica:
Então, ao seguir o caminho , independentemente do valor de ou , o limite é 0.

Passo 5

Vemos que seguindo caminhos diferentes, obtivemos limites diferentes ( e 0). Isso indica que o limite depende do caminho escolhido, ou seja, o limite não existe.

Resposta

O limite não existe.

Exercícios relacionados

Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
lim (x, y) (1,0) ln (1+y^2x^2+x y)
Utilize um gráfico feito por computador para explicar por que o limite não existe.
lim (x, y) (0,0) x y^3x^2+y^6
Trace o gráfico da função e observe onde ela é descontínua. Em seguida, utilize a fórmula para explicar o que você observou.
f(x, y) = e^(1 / (x - y))
Determine h(x, y) = g(f(x, y)) e o conjunto no qual h é contínua.
g(t) = t + ln(t), f(x, y) = (1 - x * y) / (1 + x^2 * y^2)