Seja S é um subconjunto de R^3 a superfície dada pela parametrização phi(u, v) = (u cos v, u sen v, 1 - u^2), onde u in [0, 1] e v ∈ [0, 2π]. Calcule a área da superfície S.

Passo 1

Então, estamos com um exercício para calcular a área de uma superfície no espaço tridimensional, dada pela parametrização , onde varia de 0 a 1 e varia de 0 a . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vectorial, especificamente a fórmula para a área de uma superfície parametrizada. Precisaremos calcular as derivadas parciais da parametrização, o produto vetorial dessas derivadas e, finalmente, integrar o módulo desse produto sobre a região dada.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da parametrização em relação a e .
A derivada parcial em relação a é:
A derivada parcial em relação a é:

Passo 3

Agora, vamos calcular o produto vetorial dessas duas derivadas parciais, . O produto vetorial nos dá um vetor perpendicular à superfície, e seu módulo nos ajuda a encontrar a área.
Calculando o produto vetorial:
Resolvendo o determinante:

Passo 4

Vamos calcular o módulo desse vetor resultante para obter a área infinitesimal da superfície.

Passo 5

Agora, vamos integrar esse módulo sobre os limites dados para e para encontrar a área total da superfície.
A área é dada por:
Primeiro, vamos resolver a integral interna em relação a :
Fazendo uma substituição , então , ou seja, .
Alterando os limites:
  • Quando , .
  • Quando , .
A integral fica:

Passo 6

Agora, voltamos à integral externa em relação a :

Resposta

A área da superfície é:

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