Seja a superfície dada pela parametrização , onde e . Calcule a área da superfície .
Passo 1
Então, estamos com um exercício para calcular a área de uma superfície no espaço tridimensional, dada pela parametrização , onde varia de 0 a 1 e varia de 0 a . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vectorial, especificamente a fórmula para a área de uma superfície parametrizada. Precisaremos calcular as derivadas parciais da parametrização, o produto vetorial dessas derivadas e, finalmente, integrar o módulo desse produto sobre a região dada.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da parametrização em relação a e .
A derivada parcial em relação a é:
A derivada parcial em relação a é:
Passo 3
Agora, vamos calcular o produto vetorial dessas duas derivadas parciais, . O produto vetorial nos dá um vetor perpendicular à superfície, e seu módulo nos ajuda a encontrar a área.
Calculando o produto vetorial:
Resolvendo o determinante:
Passo 4
Vamos calcular o módulo desse vetor resultante para obter a área infinitesimal da superfície.
Passo 5
Agora, vamos integrar esse módulo sobre os limites dados para e para encontrar a área total da superfície.
A área é dada por:
Primeiro, vamos resolver a integral interna em relação a :