Parametrize as superfícies em R^3 dadas pelas equações: z = x^3 - 9

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para parametrize uma superfície no espaço tridimensional, , que é definida pela equação . Isso significa que para cada valor de e , temos um valor correspondente de . Para resolver isso, vamos usar o conceito de parametrização de superfícies, que permite descrever cada ponto da superfície usando parâmetros, geralmente e .

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que parametrizar uma superfície significa expressar as coordenadas , e em termos de um ou mais parâmetros. No nosso caso, a equação já relaciona com , mas não há relação direta com . Isso sugere que podemos escolher e como nossos parâmetros.

Passo 3

Vamos definir os parâmetros e de forma simples:
Assim, podemos expressar as coordenadas , e em termos de e :

Passo 4

Agora, juntando tudo, a parametrização da superfície fica da seguinte maneira:
Aqui, é um vetor posição que, para cada par de valores , nos dá um ponto na superfície definida pela equação .

Resposta

A parametrização da superfície em é dada por:

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