Mostre que a fórmula do Teorema de Green no plano podem ser escrita na forma
onde é o vetor normal unitário a e é o comprimento de arco de .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que você me enviou é um exercício que pede para mostrarmos uma forma do Teorema de Green no plano. Basicamente, o teorema relaciona integrais de múltiplas dimensões com integrais de linha. Aqui, queremos provar que a integral dupla da divergência de um campo vetorial sobre uma região é igual à integral de linha de ponto com o vetor normal ao contorno de . Para isso, vamos precisar entender o que é divergência, o que é o vetor normal e como aplicar o Teorema de Green nessa situação.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema de Green. Ele estabelece que para um campo vetorial definido em uma região do plano, com contorno , temos:
Essa é a forma clássica do Teorema de Green, relacionando a integral dupla a uma integral de linha.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre divergência. A divergência de um campo vetorial no plano é dada por:
Isso mede quão “espalhado” o campo está em um ponto.

Passo 4

Queremos expressar o Teorema de Green em termos da divergência. Para isso, precisamos relacionar a expressão clássica do teorema com a divergência. Vamos começar somando e subtraindo na expressão do Teorema de Green:
Adicionando e subtraindo dentro da integral dupla:
Isso pode ser rearranjado para:
Onde é o vetor normal unitário ao contorno e é o elemento de comprimento de arco.

Passo 5

Observamos que a expressão à esquerda agora é exatamente a divergência de integrada sobre a região :
E a expressão à direita é a integral de linha de ao longo de . Portanto, temos que:

Resposta

Assim, mostramos que a fórmula do Teorema de Green no plano pode ser escrita como:

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