Mostre que a fórmula do Teorema de Green no plano podem ser escrita na forma
integral duplaR div(v) d x d y=integralC v cdot n d s
onde n é o vetor normal unitário a C e s é o comprimento de arco de C.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que você me enviou é um exercício que pede para mostrarmos uma forma do Teorema de Green no plano. Basicamente, o teorema relaciona integrais de múltiplas dimensões com integrais de linha. Aqui, queremos provar que a integral dupla da divergência de um campo vetorial v sobre uma região R é igual à integral de linha de v ponto com o vetor normal n ao contorno C de R. Para isso, vamos precisar entender o que é divergência, o que é o vetor normal e como aplicar o Teorema de Green nessa situação.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema de Green. Ele estabelece que para um campo vetorial v = (P, Q) definido em uma região R do plano, com contorno C, temos:
integral duplaR ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA = ointC (P , dx + Q , dy)
Essa é a forma clássica do Teorema de Green, relacionando a integral dupla a uma integral de linha.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre divergência. A divergência de um campo vetorial v = (P, Q) no plano é dada por:
div(v) = partial Ppartial x + partial Qpartial y
Isso mede quão “espalhado” o campo está em um ponto.

Passo 4

Queremos expressar o Teorema de Green em termos da divergência. Para isso, precisamos relacionar a expressão clássica do teorema com a divergência. Vamos começar somando e subtraindo partial Ppartial y na expressão do Teorema de Green:
integral duplaR ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA = ointC (P , dx + Q , dy)
Adicionando partial Ppartial x e subtraindo partial Ppartial x dentro da integral dupla:
integral duplaR ( partial Qpartial x - partial Ppartial y + partial Ppartial x - partial Ppartial x ) dA = ointC (P , dx + Q , dy)
Isso pode ser rearranjado para:
integral duplaR ( partial Ppartial x + partial Qpartial y ) dA = ointC v cdot n , ds
Onde n é o vetor normal unitário ao contorno C e ds é o elemento de comprimento de arco.

Passo 5

Observamos que a expressão à esquerda agora é exatamente a divergência de v integrada sobre a região R:
integral duplaR div(v) , dA
E a expressão à direita é a integral de linha de v cdot n ao longo de C. Portanto, temos que:
integral duplaR div(v) , dA = ointC v cdot n , ds

Resposta

Assim, mostramos que a fórmula do Teorema de Green no plano pode ser escrita como:
integral duplaR div(v) , dx , dy = integralC v cdot n , ds

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