Mostre que a fórmula do Teorema de Green no plano podem ser escrita na forma
onde
é o vetor normal unitário a
e
é o comprimento de arco de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que você me enviou é um exercício que pede para mostrarmos uma forma do Teorema de Green no plano. Basicamente, o teorema relaciona integrais de múltiplas dimensões com integrais de linha. Aqui, queremos provar que a integral dupla da divergência de um campo vetorial
sobre uma região
é igual à integral de linha de
ponto com o vetor normal
ao contorno
de
. Para isso, vamos precisar entender o que é divergência, o que é o vetor normal e como aplicar o Teorema de Green nessa situação.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema de Green. Ele estabelece que para um campo vetorial
definido em uma região
do plano, com contorno
, temos:
Essa é a forma clássica do Teorema de Green, relacionando a integral dupla a uma integral de linha.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre divergência. A divergência de um campo vetorial
no plano é dada por:
Isso mede quão “espalhado” o campo está em um ponto.
Passo 4
Queremos expressar o Teorema de Green em termos da divergência. Para isso, precisamos relacionar a expressão clássica do teorema com a divergência. Vamos começar somando e subtraindo
na expressão do Teorema de Green:
Adicionando
e subtraindo
dentro da integral dupla:
Isso pode ser rearranjado para:
Onde
é o vetor normal unitário ao contorno
e
é o elemento de comprimento de arco.
Passo 5
Observamos que a expressão à esquerda agora é exatamente a divergência de
integrada sobre a região
:
E a expressão à direita é a integral de linha de
ao longo de
. Portanto, temos que:
Resposta
Assim, mostramos que a fórmula do Teorema de Green no plano pode ser escrita como:
Exercícios relacionados
Determine a imagem de
. Considere a função
.
Mostre que toda EDO de primeira ordem tem um método analítico de solução.
A temperatura em um ponto
é
, medida em graus Celsius. Um inseto rasteja, de modo que sua posição após
segundos é dada por
e
, onde
e
são medidos em centímetros. A função da temperatura satisfaz
e
. Quão rápido a temperatura aumenta no caminho do inseto depois de três segundos?
Resolva o problema de valor inicial.