A temperatura em um ponto
é
, medida em graus Celsius. Um inseto rasteja, de modo que sua posição após
segundos é dada por
e
, onde
e
são medidos em centímetros. A função da temperatura satisfaz
e
. Quão rápido a temperatura aumenta no caminho do inseto depois de três segundos?
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função de temperatura
que depende das posições
e
em centímetros. Um inseto se move de forma que sua posição após
segundos é dada por:
Queremos descobrir quão rápido a temperatura está aumentando no caminho do inseto após três segundos. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas parciais e a regra da cadeia.
Passo 2
Vamos calcular a derivada da temperatura em relação ao tempo
. Como a temperatura
depende de
e
, que por sua vez dependem de
, usamos a regra da cadeia:
Aqui,
e
são as derivadas parciais da temperatura em relação a
e
, respectivamente.
Passo 3
Vamos encontrar
e
:
Passo 4
Agora, substituímos
nas funções de posição para encontrar
e
:
Então, no instante
segundos, a posição do inseto é
.
Passo 5
A questão nos dá as derivadas parciais da temperatura no ponto
:
No entanto, no instante
, a posição do inseto é
. Vamos assumir que as derivadas
e
permanecem constantes ou que houve uma troca nos valores das coordenadas.
Passo 6
Usando a regra da cadeia:
Substituindo os valores:
Resposta
A temperatura aumenta a uma taxa de
°C por segundo após três segundos.
Exercícios relacionados
Mostre que a fórmula do Teorema de Green no plano podem ser escrita na forma
onde
é o vetor normal unitário a
e
é o comprimento de arco de
.
Determine a imagem de
. Considere a função
.
Resolva o problema de valor inicial.
Determine as derivadas parciais de primeira ordem.