A temperatura em um ponto (x, y) é T(x, y), medida em graus Celsius. Um inseto rasteja, de modo que sua posição após t segundos é dada por x = 2 + 1/3 t e y = raiz(1 + t), onde x e y são medidos em centímetros. A função da temperatura satisfaz T_x(2,3) = 1/4 e Ty(2,3) = 2/3. Quão rápido a temperatura aumenta no caminho do inseto depois de três segundos?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função de temperatura que depende das posições e em centímetros. Um inseto se move de forma que sua posição após segundos é dada por:
Queremos descobrir quão rápido a temperatura está aumentando no caminho do inseto após três segundos. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas parciais e a regra da cadeia.

Passo 2

Vamos calcular a derivada da temperatura em relação ao tempo . Como a temperatura depende de e , que por sua vez dependem de , usamos a regra da cadeia:
Aqui, e são as derivadas parciais da temperatura em relação a e , respectivamente.

Passo 3

Vamos encontrar e :

Passo 4

Agora, substituímos nas funções de posição para encontrar e :
Então, no instante segundos, a posição do inseto é .

Passo 5

A questão nos dá as derivadas parciais da temperatura no ponto :
No entanto, no instante , a posição do inseto é . Vamos assumir que as derivadas e permanecem constantes ou que houve uma troca nos valores das coordenadas.

Passo 6

Usando a regra da cadeia:
Substituindo os valores:

Resposta

A temperatura aumenta a uma taxa de °C por segundo após três segundos.

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