(a) Determine por integração direta o campo elétrico num ponto
distante do centro de uma esfera com uma total Q nas seguintes situações: ii) esfera de raio
carregada com uma densidade volumétrica
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos que encontrar o campo elétrico em um ponto distante
do centro de uma esfera carregada. A esfera tem raio
e uma densidade volumétrica de carga
. Isso é uma questão de Eletrostática, especificamente envolvendo a integração direta da Lei de Coulomb para distribuir o campo elétrico ao redor de uma distribuição de carga contínua.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o campo elétrico
devido a uma carga pontual é dado por:
onde
é a carga total e
é a distância do ponto onde queremos calcular o campo até a carga.
Passo 3
Como a esfera tem uma distribuição contínua de carga, precisamos integrar as contribuições de todos os pequenos elementos de carga
na esfera. A densidade volumétrica
nos dá a carga por unidade de volume, então:
onde
é o elemento de volume.
Passo 4
Vamos considerar a esfera como constituída por camadas concêntricas de raio
, onde cada camada tem uma espessura
. O volume de cada camada é:
Então, a carga em cada camada é:
Passo 5
O campo elétrico devido a uma camada esférica de carga, pelo Teorema de Gauss, atua como se toda a carga estivesse concentrada no centro da esfera quando estamos fora dela (
). Portanto, a contribuição de cada camada para o campo no ponto
é:
Passo 6
Substituindo
na expressão do campo elétrico:
Passo 7
Para encontrar o campo elétrico total
, integramos
de
até
:
Passo 8
Calculando a integral:
Então,
Resposta
O campo elétrico no ponto a distância
do centro da esfera é: