(a) Determine por integração direta o campo elétrico num ponto z distante do centro de uma esfera com uma total Q nas seguintes situações: ii) esfera de raio R carregada com uma densidade volumétrica p.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que encontrar o campo elétrico em um ponto distante do centro de uma esfera carregada. A esfera tem raio e uma densidade volumétrica de carga . Isso é uma questão de Eletrostática, especificamente envolvendo a integração direta da Lei de Coulomb para distribuir o campo elétrico ao redor de uma distribuição de carga contínua.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o campo elétrico E = 14pivarepsilon0 cdot Qz^2 z devido a uma carga pontual é dado por:
onde é a carga total e é a distância do ponto onde queremos calcular o campo até a carga.

Passo 3

Como a esfera tem uma distribuição contínua de carga, precisamos integrar as contribuições de todos os pequenos elementos de carga dq = p , dV na esfera. A densidade volumétrica nos dá a carga por unidade de volume, então:
onde é o elemento de volume.

Passo 4

Vamos considerar a esfera como constituída por camadas concêntricas de raio dV = 4pi r^2 dr , onde cada camada tem uma espessura dq = p cdot 4pi r^2 dr . O volume de cada camada é:
Então, a carga em cada camada é:

Passo 5

O campo elétrico devido a uma camada esférica de carga, pelo Teorema de Gauss, atua como se toda a carga estivesse concentrada no centro da esfera quando estamos fora dela ( dE = 14pivarepsilon0 cdot dqz^2 ). Portanto, a contribuição de cada camada para o campo no ponto é:

Passo 6

Substituindo dE = 14pivarepsilon0 cdot p cdot 4pi r^2 drz^2 = p r^2 drvarepsilon0 z^2 na expressão do campo elétrico:

Passo 7

Para encontrar o campo elétrico total E = integral0^R p r^2 drvarepsilon0 z^2 = pvarepsilon0 z^2 integral0^R r^2 dr , integramos de até :

Passo 8

Calculando a integral:
integral0^R r^2 dr = [ r^33 ]0^R = R^33
Então,
E = pvarepsilon0 z^2 cdot R^33 = p R^33 varepsilon0 z^2

Resposta

O campo elétrico no ponto a distância E = p R^33 varepsilon0 z^2 do centro da esfera é:

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