(a) Determine por integração direta o campo elétrico num ponto
distante do centro de uma esfera com uma total
nas seguintes situaçöes: (i) esfera oca de raio
carregada com uma densidade superficial
e ii) esfera de raio
carregada com uma densidade volumétrica
. (b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para determinar o campo elétrico em um ponto distante
do centro de uma esfera com carga total
. Temos duas situações:
- Esfera oca de raio
com densidade superficial . - Esfera sólida de raio
com densidade volumétrica .
Vamos usar conceitos de campo elétrico e Lei de Coulomb para calcular isso. Precisaremos integrar as contribuições de todos os elementos de carga na esfera para encontrar o campo resultante no ponto
.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar a esfera oca. Nessa situação, toda a carga está distribuída na superfície da esfera. Para calcular o campo elétrico fora da esfera, podemos usar a simetria esférica.
A fórmula básica para o campo elétrico devido a uma carga pontual é:
Mas precisamos derivar isso pela integração direta considerando a distribuição superficial de carga.
Passo 3
Na esfera oca, a densidade superficial
está relacionada à carga total
pela relação:
Isso porque a carga está distribuída uniformemente na superfície da esfera, que tem área
.
Passo 4
Para calcular o campo elétrico no ponto
, usamos a superposição dos campos de todos os elementos de carga na superfície. Devido à simetria, as componentes horizontais dos campos se cancelam, e só resta a componente na direção radial.
Então, o campo elétrico no ponto
é:
Isso é válido para
, ou seja, fora da esfera oca.
Passo 5
Agora, para a esfera sólida com densidade volumétrica
, a carga está distribuída por todo o volume da esfera. Aqui, precisamos integrar a contribuição de cada elemento de volume
com carga
.
Usando coordenadas esféricas, a distância de cada elemento de carga ao ponto
também varia, então a integração fica um pouco mais complexa.
Passo 6
Devido à simetria da esfera sólida, o campo elétrico fora da esfera também se comporta como se toda a carga estivesse concentrada no centro. Portanto, o campo elétrico no ponto
é o mesmo que no caso da esfera oca:
Aqui, a carga total
é dada por:
Resposta
Em ambas as situações, tanto para a esfera oca quanto para a esfera sólida, o campo elétrico no ponto
distante do centro da esfera é dado por:
Onde
é a carga total da esfera, calculada de acordo com a distribuição específica de carga em cada caso.