(a) Determine por integração direta o campo elétrico num ponto z distante do centro de uma esfera com uma total Q nas seguintes situaçöes: (i) esfera oca de raio R carregada com uma densidade superficial sigma e ii) esfera de raio R carregada com uma densidade volumétrica p. (b)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para determinar o campo elétrico em um ponto distante z do centro de uma esfera com carga total Q. Temos duas situações:
  1. Esfera oca de raio R com densidade superficial sigma.
  2. Esfera sólida de raio R com densidade volumétrica p.
Vamos usar conceitos de campo elétrico e Lei de Coulomb para calcular isso. Precisaremos integrar as contribuições de todos os elementos de carga na esfera para encontrar o campo resultante no ponto z.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar a esfera oca. Nessa situação, toda a carga está distribuída na superfície da esfera. Para calcular o campo elétrico fora da esfera, podemos usar a simetria esférica.
A fórmula básica para o campo elétrico devido a uma carga pontual é:
E = 14pivarepsilon0 Qz^2
Mas precisamos derivar isso pela integração direta considerando a distribuição superficial de carga.

Passo 3

Na esfera oca, a densidade superficial sigma está relacionada à carga total Q pela relação:
Q = sigma cdot 4pi R^2
Isso porque a carga está distribuída uniformemente na superfície da esfera, que tem área 4pi R^2.

Passo 4

Para calcular o campo elétrico no ponto z, usamos a superposição dos campos de todos os elementos de carga na superfície. Devido à simetria, as componentes horizontais dos campos se cancelam, e só resta a componente na direção radial.
Então, o campo elétrico no ponto z é:
E = 14pivarepsilon0 Qz^2
Isso é válido para z > R, ou seja, fora da esfera oca.

Passo 5

Agora, para a esfera sólida com densidade volumétrica p, a carga está distribuída por todo o volume da esfera. Aqui, precisamos integrar a contribuição de cada elemento de volume dV com carga dq = p cdot dV.
Usando coordenadas esféricas, a distância de cada elemento de carga ao ponto z também varia, então a integração fica um pouco mais complexa.

Passo 6

Devido à simetria da esfera sólida, o campo elétrico fora da esfera também se comporta como se toda a carga estivesse concentrada no centro. Portanto, o campo elétrico no ponto z > R é o mesmo que no caso da esfera oca:
E = 14pivarepsilon0 Qz^2
Aqui, a carga total Q é dada por:
Q = p cdot 43pi R^3

Resposta

Em ambas as situações, tanto para a esfera oca quanto para a esfera sólida, o campo elétrico no ponto z distante do centro da esfera é dado por:
E = 14pivarepsilon0 Qz^2
Onde Q é a carga total da esfera, calculada de acordo com a distribuição específica de carga em cada caso.

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