Determine por integração direta a força elétrica numa carga qo num ponto P nas seguintes situações : (i) fio de carga total q, comprimento 2 L e no limite de L infinito com lambda(x)= constante ; o que acontece quando a cordenada x da posicão da carga qo for diferente de zero; (ii) Anel carregado q com densidade lambda= constante); (iii) Um disco oco carregado com carga q e densidade sigma constante e raio interno a e raio externo b.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar a força elétrica sobre uma carga no ponto em três situações diferentes. Vamos usar conceitos de eletrostática, especificamente a Lei de Coulomb e integração para distribuições de carga contínua. Precisaremos entender como calcular a força elétrica gerada por diferentes formas de distribuição de carga.

Passo 2

Situação (i): Fio carregado com carga total , comprimento , no limite tendendo ao infinito, e densidade linear de carga constante. Queremos saber o que acontece quando a coordenada da posição da carga é diferente de zero.
Primeiro, vamos considerar um fio extremamente longo com densidade linear de carga constante. A força elétrica sobre será resultado da contribuição de todos os pequenos elementos de carga do fio.

Passo 3

Vamos posicionar o fio ao longo do eixo , de a , e a carga em um ponto a uma distância do fio (supondo que de seja zero para simplificar a visualização). A distância entre um elemento de carga no fio e é .

Passo 4

A força diferencial dF = 14pivarepsilon0 qo , dqr^2 exercida por sobre é dada pela Lei de Coulomb:
Como a força tem componente na direção , precisamos integrar apenas essa componente devido à simetria do problema (as componentes se cancelam).

Passo 5

A componente dFy = dF cdot yr = 14pivarepsilon0 qo , lambda dx cdot y(x^2 + y^2)^3/2 da força diferencial é:
Fy = qo lambda y4pivarepsilon0 integral-L^L dx(x^2 + y^2)^3/2
Agora, integramos de a . No limite tendendo ao infinito:

Passo 6

Resolvendo a integral:
integral dx(x^2 + y^2)^3/2 = xy^2 raizx^2 + y^2
Aplicando os limites de Fy = qo lambda y4pivarepsilon0 [ limL to infty ( Ly^2 raizL^2 + y^2 - -Ly^2 raizL^2 + y^2 ) ] a Fy = qo lambda y4pivarepsilon0 ( 2Ly^2 raizL^2 + y^2 ) :
LraizL^2 + y^2 to 1
Simplificando:
Fy = qo lambda y4pivarepsilon0 cdot 2y^2 = qo lambda2pivarepsilon0 y
À medida que tende ao infinito:
Então:

Resposta

A força elétrica sobre a carga F = qo lambda2pivarepsilon0 y no ponto devido a um fio carregado infinito com densidade linear de carga constante é:

Exercícios relacionados