Determine por integração direta a força elétrica numa carga qo num ponto P nas seguintes situações : (i) fio de carga total
, comprimento
e no limite de
infinito
constante ; o que acontece quando a cordenada
da posicão da carga qo for diferente de zero; (ii) Anel carregado
com densidade
constante); (iii) Um disco oco carregado com carga
e densidade
constante e raio interno
e raio externo
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar a força elétrica sobre uma carga
no ponto
em três situações diferentes. Vamos usar conceitos de eletrostática, especificamente a Lei de Coulomb e integração para distribuições de carga contínua. Precisaremos entender como calcular a força elétrica gerada por diferentes formas de distribuição de carga.
Passo 2
Situação (i): Fio carregado com carga total
, comprimento
, no limite
tendendo ao infinito, e densidade linear de carga
constante. Queremos saber o que acontece quando a coordenada
da posição da carga
é diferente de zero.
Primeiro, vamos considerar um fio extremamente longo com densidade linear de carga
constante. A força elétrica sobre
será resultado da contribuição de todos os pequenos elementos de carga do fio.
Passo 3
Vamos posicionar o fio ao longo do eixo
, de
a
, e a carga
em um ponto
a uma distância
do fio (supondo que
de
seja zero para simplificar a visualização). A distância entre um elemento de carga
no fio e
é
.
Passo 4
A força diferencial
exercida por
sobre
é dada pela Lei de Coulomb:
Como a força tem componente na direção
, precisamos integrar apenas essa componente devido à simetria do problema (as componentes
se cancelam).
Passo 5
A componente
da força diferencial é:
Agora, integramos de
a
. No limite
tendendo ao infinito:
Passo 6
Resolvendo a integral:
Aplicando os limites de
a
:
Simplificando:
À medida que
tende ao infinito:
Então:
Resposta
A força elétrica sobre a carga
no ponto
devido a um fio carregado infinito com densidade linear de carga constante
é:
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.