Determine as integrais: integral 3 x^2+4 x+2x^3+2 x^2+x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício está na área de cálculo integral, especificamente lidando com funções racionais. Para resolver, vamos precisar usar a técnica de frações parciais, que ajuda a dividir a fração complicada em partes mais simples que são mais fáceis de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada no denominador da fração: x^3 + 2x^2 + x = x(x^2 + 2x + 1) = x(x + 1)^2 . Vamos fatorar isso para simplificar a expressão.
Fatorando :
Então, o denominador fica .

Passo 3

Agora que temos a fração 3x^2 + 4x + 2x(x + 1)^2 = Ax + Bx + 1 + C(x + 1)^2 , vamos usar frações parciais para decompor essa expressão. A ideia é escrever a fração como uma soma de frações mais simples:
Aqui, , e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 4

Para encontrar 3x^2 + 4x + 2 = A(x + 1)^2 + Bx(x + 1) + Cx , 3x^2 + 4x + 2 = A(x^2 + 2x + 1) + Bx^2 + Bx + Cx e 3x^2 + 4x + 2 = (A + B)x^2 + (2A + B + C)x + A , vamos multiplicar ambos os lados da equação por para eliminar os denominadores:
Agora, expandimos e simplificamos os termos:

Passo 5

Agora, igualamos os coeficientes de termos correspondentes:
  1. Coeficiente de A + B = 3 :
2A + B + C = 4
  1. Coeficiente de A = 2 :
2 + B = 3 Rightarrow B = 1
  1. Termo constante:
2(2) + 1 + C = 4 Rightarrow 4 + 1 + C = 4 Rightarrow C = -1
Com , substituímos na primeira equação:
Agora, substituímos e na segunda equação:

Passo 6

Então, nossa decomposição em frações parciais fica:
3x^2 + 4x + 2x(x + 1)^2 = 2x + 1x + 1 - 1(x + 1)^2

Passo 7

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
integral 2x , dx + integral 1x + 1 , dx - integral 1(x + 1)^2 , dx
Integrando termo a termo:

Passo 8

Juntando todos os resultados e simplificando as constantes de integração, temos:
2 ln|x| + ln|x + 1| - 1x + 1 + C

Resposta

A integral vale:
2 ln|x| + ln|x + 1| - 1x + 1 + C

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