Determine as integrais:

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício está na área de cálculo integral, especificamente lidando com funções racionais. Para resolver, vamos precisar usar a técnica de frações parciais, que ajuda a dividir a fração complicada em partes mais simples que são mais fáceis de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada no denominador da fração: . Vamos fatorar isso para simplificar a expressão.
Fatorando :
Então, o denominador fica .

Passo 3

Agora que temos a fração , vamos usar frações parciais para decompor essa expressão. A ideia é escrever a fração como uma soma de frações mais simples:
Aqui, , e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 4

Para encontrar , e , vamos multiplicar ambos os lados da equação por para eliminar os denominadores:
Agora, expandimos e simplificamos os termos:

Passo 5

Agora, igualamos os coeficientes de termos correspondentes:
  1. Coeficiente de :
  1. Coeficiente de :
  1. Termo constante:
Com , substituímos na primeira equação:
Agora, substituímos e na segunda equação:

Passo 6

Então, nossa decomposição em frações parciais fica:

Passo 7

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
Integrando termo a termo:

Passo 8

Juntando todos os resultados e simplificando as constantes de integração, temos:

Resposta

A integral vale:

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(a)
(b)
©
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