Determine as integrais:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Esse exercício está na área de cálculo integral, especificamente lidando com funções racionais. Para resolver, vamos precisar usar a técnica de frações parciais, que ajuda a dividir a fração complicada em partes mais simples que são mais fáceis de integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada no denominador da fração:
. Vamos fatorar isso para simplificar a expressão.
Fatorando
:
Então, o denominador fica
.
Passo 3
Agora que temos a fração
, vamos usar frações parciais para decompor essa expressão. A ideia é escrever a fração como uma soma de frações mais simples:
Aqui,
,
e
são constantes que precisamos encontrar.
Passo 4
Para encontrar
,
e
, vamos multiplicar ambos os lados da equação por
para eliminar os denominadores:
Agora, expandimos e simplificamos os termos:
Passo 5
Agora, igualamos os coeficientes de termos correspondentes:
- Coeficiente de
:
- Coeficiente de
:
- Termo constante:
Com
, substituímos na primeira equação:
Agora, substituímos
e
na segunda equação:
Passo 6
Então, nossa decomposição em frações parciais fica:
Passo 7
Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
Integrando termo a termo:
Passo 8
Juntando todos os resultados e simplificando as constantes de integração, temos:
Resposta
A integral vale:
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(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f) .
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
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,
, e de volta para a origem sob a influência do campo de forças
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