Esboce os gráficos e as curvas de nível das seguintes funções:
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f) .

Passo 1

Beleza, vamos começar com a função . Esse exercício faz parte do estudo das superfícies e curvas de nível, que nos ajudam a visualizar como a função se comporta no espaço e em planos específicos. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são curvas de nível e como esboçar gráficos de funções de duas variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as curvas de nível. As curvas de nível são as curvas no plano onde a função assume valores constantes, ou seja, , onde é uma constante. Substituindo na função:
Isso representa círculos com raio , desde que .

Passo 3

Agora, vamos esboçar o gráfico da função. A equação é a equação de uma superfície paraboloide invertida. Isso significa que é uma espécie de “tigela” virada para baixo, onde o ponto mais alto é no vértice .

Passo 4

Agora, vamos para a função . Estamos estudando superfícies e suas curvas de nível. Precisamos identificar como as curvas de nível se comportam e como é o gráfico 3D dessa função.

Passo 5

As curvas de nível são obtidas fixando :
Isso representa retas com inclinação e intercepto no eixo em .

Passo 6

O gráfico da função é um plano inclinado no espaço tridimensional. Cada valor de corresponde a uma reta diferente no plano , e o plano sobe na direção positiva conforme aumenta.

Passo 7

Vamos analisar a função . Estamos no contexto de superfícies parabólicas e curvas de nível. Precisamos determinar as formas dessas curvas e como a superfície se comporta no espaço.

Passo 8

Para as curvas de nível, fixamos :
Isso descreve elipses com semi-eixos e .

Passo 9

O gráfico da função é uma paraboloide que se abre para cima. Como o coeficiente de é maior, a curva se alarga menos na direção do que na direção .

Passo 10

Agora, a função . Continuamos estudando paraboloides e curvas de nível. Vamos identificar as curvas e o formato da superfície.

Passo 11

Curvas de nível são obtidas fixando :
Isso representa círculos com raio , válido para .

Passo 12

O gráfico da função é uma paraboloide que se abre para cima, deslocada para cima no eixo em 1 unidade. O vértice está em .

Passo 13

Vamos para a função . Estamos explorando superfícies exponenciais e suas curvas de nível. Precisamos entender como as curvas se comportam e como o gráfico fica no espaço.

Passo 14

Curvas de nível são obtidas fixando :
Para , isso representa linhas horizontais no plano em .

Passo 15

O gráfico da função é uma superfície que decresce exponencialmente na direção positiva de . Para cada , a função é constante em todas as direções de .

Passo 16

Finalmente, temos com as restrições e . Estamos analisando funções trigonométricas em superfícies e suas curvas de nível dentro de um domínio específico.

Passo 17

Curvas de nível são obtidas fixando :
Isso resulta em linhas verticais nos pontos e dentro do intervalo , considerando as restrições.

Passo 18

O gráfico da função é um plano que oscila na dire��ão e é constante na direção . Com as restrições, estamos olhando apenas para uma “fatia” do gráfico onde é não negativo e está entre e .

Resposta

As curvas de nível são linhas verticais em dentro de e . O gráfico é um plano oscilante na direção , limitado pelas restrições dadas.

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