Esboce os gráficos e as curvas de nível das seguintes funções:
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
.
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
Passo 1
Beleza, vamos começar com a função
. Esse exercício faz parte do estudo das superfícies e curvas de nível, que nos ajudam a visualizar como a função se comporta no espaço e em planos específicos. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são curvas de nível e como esboçar gráficos de funções de duas variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as curvas de nível. As curvas de nível são as curvas no plano
onde a função
assume valores constantes, ou seja,
, onde
é uma constante. Substituindo na função:
Isso representa círculos com raio
, desde que
.
Passo 3
Agora, vamos esboçar o gráfico da função. A equação
é a equação de uma superfície paraboloide invertida. Isso significa que é uma espécie de “tigela” virada para baixo, onde o ponto mais alto é no vértice
.
Passo 4
Agora, vamos para a função
. Estamos estudando superfícies e suas curvas de nível. Precisamos identificar como as curvas de nível se comportam e como é o gráfico 3D dessa função.
Passo 5
As curvas de nível são obtidas fixando
:
Isso representa retas com inclinação
e intercepto no eixo
em
.
Passo 6
O gráfico da função
é um plano inclinado no espaço tridimensional. Cada valor de
corresponde a uma reta diferente no plano
, e o plano sobe na direção positiva conforme
aumenta.
Passo 7
Vamos analisar a função
. Estamos no contexto de superfícies parabólicas e curvas de nível. Precisamos determinar as formas dessas curvas e como a superfície se comporta no espaço.
Passo 8
Para as curvas de nível, fixamos
:
Isso descreve elipses com semi-eixos
e
.
Passo 9
O gráfico da função
é uma paraboloide que se abre para cima. Como o coeficiente de
é maior, a curva se alarga menos na direção
do que na direção
.
Passo 10
Agora, a função
. Continuamos estudando paraboloides e curvas de nível. Vamos identificar as curvas e o formato da superfície.
Passo 11
Curvas de nível são obtidas fixando
:
Isso representa círculos com raio
, válido para
.
Passo 12
O gráfico da função
é uma paraboloide que se abre para cima, deslocada para cima no eixo
em 1 unidade. O vértice está em
.
Passo 13
Vamos para a função
. Estamos explorando superfícies exponenciais e suas curvas de nível. Precisamos entender como as curvas se comportam e como o gráfico fica no espaço.
Passo 14
Curvas de nível são obtidas fixando
:
Para
, isso representa linhas horizontais no plano
em
.
Passo 15
O gráfico da função
é uma superfície que decresce exponencialmente na direção positiva de
. Para cada
, a função é constante em todas as direções de
.
Passo 16
Finalmente, temos
com as restrições
e
. Estamos analisando funções trigonométricas em superfícies e suas curvas de nível dentro de um domínio específico.
Passo 17
Curvas de nível são obtidas fixando
:
Isso resulta em linhas verticais nos pontos
e
dentro do intervalo
, considerando as restrições.
Passo 18
O gráfico da função
é um plano que oscila na dire��ão
e é constante na direção
. Com as restrições, estamos olhando apenas para uma “fatia” do gráfico onde
é não negativo e
está entre
e
.
Resposta
As curvas de nível são linhas verticais em
dentro de
e
. O gráfico é um plano oscilante na direção
, limitado pelas restrições dadas.
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,
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