Determine a área da região limitada pelo eixo
e pela função
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a área da região que está entre o eixo
e a função
. Isso envolve um pouco de cálculo, especificamente integrais, que ajudam a calcular áreas sob curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender onde a função
cruza o eixo
. Isso acontece quando
. Então, vamos resolver a equação:
Então, os pontos de interseção são
e
.
Passo 3
Agora, sabemos que a área que queremos calcular está entre
e
. Para encontrar essa área, usamos a integral definida da função
nesse intervalo. A integral vai nos dar a “soma” infinita das pequenas áreas sob a curva.
A fórmula da integral é:
Passo 4
Vamos calcular essa integral passo a passo. Primeiro, encontramos a antiderivada de
:
Onde
é a constante de integração, mas como estamos calculando uma área definida, não precisamos nos preocupar com ela.
Passo 5
Agora, aplicamos os limites de integração de
a
:
Isso significa que precisamos calcular a expressão
em
e
, e depois subtrair os resultados.
Passo 6
Vamos calcular em
:
E em
:
Passo 7
Agora, subtraímos os dois resultados:
Resposta
A área da região limitada pelo eixo
e pela função
é
unidades quadradas.
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Uma lata cilíndrica e sem tampa tem volume de
. Determine as dimensões (raio
e altura h) desta lata de modo que a quantidade de material usado na sua fabricação seja mínima.
Determine e faça um esboço do domínio da função:
(a) .
(b) .
© .
(d) .
(e) .
(f) .
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
Esboce os gráficos e as curvas de nível das seguintes funções:
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f) .
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
Determine as integrais: