Determine a área da região limitada pelo eixo e pela função

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a área da região que está entre o eixo e a função . Isso envolve um pouco de cálculo, especificamente integrais, que ajudam a calcular áreas sob curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender onde a função cruza o eixo . Isso acontece quando . Então, vamos resolver a equação:
Então, os pontos de interseção são e .

Passo 3

Agora, sabemos que a área que queremos calcular está entre e . Para encontrar essa área, usamos a integral definida da função nesse intervalo. A integral vai nos dar a “soma” infinita das pequenas áreas sob a curva.
A fórmula da integral é:
Á

Passo 4

Vamos calcular essa integral passo a passo. Primeiro, encontramos a antiderivada de :
Onde é a constante de integração, mas como estamos calculando uma área definida, não precisamos nos preocupar com ela.

Passo 5

Agora, aplicamos os limites de integração de a :
Á
Isso significa que precisamos calcular a expressão em e , e depois subtrair os resultados.

Passo 6

Vamos calcular em :
E em :

Passo 7

Agora, subtraímos os dois resultados:
Á

Resposta

A área da região limitada pelo eixo e pela função é unidades quadradas.

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Determine e faça um esboço do domínio da função:
(a) .
(b) .
© .
(d) .
(e) .
(f) .
Esboce os gráficos e as curvas de nível das seguintes funções:
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f) .
Determine as integrais: