Uma partícula se move ao longo de segmentos de reta da origem aos pontos (1, 0, 0), (1, 2, 1), (0, 2, 1), e de volta para a origem sob a influência do campo de forças
F(x, y, z) = (z^2, 2xy, 4y^2)
Encontre o trabalho realizado.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma partícula que se move por vários pontos no espaço sob a influência de um campo de forças dado por . Nosso objetivo é encontrar o trabalho realizado por esse campo ao longo do caminho que a partícula percorre: da origem para , depois para , para e de volta para a origem. Vamos usar o conceito de integração de linha para calcular esse trabalho.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o trabalho realizado por um campo de forças ao longo de um caminho é dado pela integral de linha:
Aqui, é o caminho percorrido pela partícula, é o campo de forças e é um pequeno deslocamento ao longo do caminho. O símbolo representa o produto escalar entre os vetores.

Passo 3

Vamos dividir o caminho em quatro segmentos:
  1. Segmento 1: Da origem para
  2. Segmento 2: De para
  3. Segmento 3: De para
  4. Segmento 4: De de volta para a origem
Vamos calcular o trabalho em cada segmento separadamente e depois somar tudo.

Passo 4

Segmento 1: Da origem para
Aqui, só o eixo está variando. Podemos parametrizar esse segmento como:
O vetor deslocamento é:
Agora, substituímos no campo :
O trabalho no segmento 1 é:

Passo 5

Segmento 2: De para
Neste segmento, é constante. Podemos parametrizar assim:
O vetor deslocamento é:
Substituindo no campo :
O trabalho no segmento 2 é:
Calculando a integral:

Passo 6

Segmento 3: De para
Aqui, e são constantes. Podemos parametrizar assim:
O vetor deslocamento é:
Substituindo no campo :
O trabalho no segmento 3 é:

Passo 7

Segmento 4: De de volta para
Neste segmento, . Vamos parametrizar assim:
O vetor deslocamento é:
Substituindo no campo :
O trabalho no segmento 4 é:
Calculando a integral:

Resposta

Somando todos os trabalhos dos segmentos:
Portanto, o trabalho realizado pelo campo de forças ao longo do caminho dado é unidades de trabalho.

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