Uma partícula se move ao longo de segmentos de reta da origem aos pontos
,
, e de volta para a origem sob a influência do campo de forças
Encontre o trabalho realizado.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma partícula que se move por vários pontos no espaço sob a influência de um campo de forças dado por
. Nosso objetivo é encontrar o trabalho realizado por esse campo ao longo do caminho que a partícula percorre: da origem para
, depois para
, para
e de volta para a origem. Vamos usar o conceito de integração de linha para calcular esse trabalho.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o trabalho realizado por um campo de forças ao longo de um caminho é dado pela integral de linha:
Aqui,
é o caminho percorrido pela partícula,
é o campo de forças e
é um pequeno deslocamento ao longo do caminho. O símbolo
representa o produto escalar entre os vetores.
Passo 3
Vamos dividir o caminho em quatro segmentos:
- Segmento 1: Da origem
para - Segmento 2: De
para - Segmento 3: De
para - Segmento 4: De
de volta para a origem
Vamos calcular o trabalho em cada segmento separadamente e depois somar tudo.
Passo 4
Segmento 1: Da origem
para
Aqui, só o eixo
está variando. Podemos parametrizar esse segmento como:
O vetor deslocamento
é:
Agora, substituímos
no campo
:
O trabalho no segmento 1 é:
Passo 5
Segmento 2: De
para
Neste segmento,
é constante. Podemos parametrizar assim:
O vetor deslocamento
é:
Substituindo
no campo
:
O trabalho no segmento 2 é:
Calculando a integral:
Passo 6
Segmento 3: De
para
Aqui,
e
são constantes. Podemos parametrizar assim:
O vetor deslocamento
é:
Substituindo
no campo
:
O trabalho no segmento 3 é:
Passo 7
Segmento 4: De
de volta para
Neste segmento,
. Vamos parametrizar assim:
O vetor deslocamento
é:
Substituindo
no campo
:
O trabalho no segmento 4 é:
Calculando a integral:
Resposta
Somando todos os trabalhos dos segmentos:
Portanto, o trabalho realizado pelo campo de forças ao longo do caminho dado é
unidades de trabalho.
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Determine as integrais:
Esboce os gráficos e as curvas de nível das seguintes funções:
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f) .
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
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