Determine se a integral diverge ou converge e, nesse último caso, calcule a integral.
(a)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral . Aqui estamos lidando com uma integral imprópria, já que o limite superior é infinito. Para resolver, vamos analisar se a integral converge (tem um valor finito) ou diverge (não tem um valor definido).

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma integral impropria de infinito. Quando temos , analisamos o limite da integral definida conforme o limite superior tende ao infinito:

Passo 3

Agora, vamos calcular a integral definida . A antiderivada de é , então:
Sabemos que , então a expressão fica:

Passo 4

Agora, vamos analisar o limite dessa expressão quando tende ao infinito:
A função oscila entre -1 e 1 para todo valor de , e não se aproxima de nenhum valor específico quando tende ao infinito. Isso significa que oscila entre 0 e 2 sem se estabilizar.

Passo 5

Como o limite não existe (a expressão continua oscilando sem se aproximar de um valor fixo), concluímos que a integral não tem um valor definido. Portanto, a integral diverge.

Resposta

A integral diverge.

Exercícios relacionados

(Se a temperatura do ar em certo dia é , o índice de calor (também em ) é dado aproximadamente pela seguinte função, em que é a umidade relativa do ar em forma de porcentagem:)
Que umidade relativa do ar resulta em um índice de calor de ?
Dê duas soluções para cada uma das equações com a condição inicial dada:
.
Mostre que a substituição transforma a equação numa equaçăo de variáveis separáveis. Aplique esse método para resolver as equaçôes