Determine se a integral diverge ou converge e, nesse último caso, calcule a integral.
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral . Aqui estamos lidando com uma integral imprópria, já que o limite superior é infinito. Para resolver, vamos analisar se a integral converge (tem um valor finito) ou diverge (não tem um valor definido).
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma integral impropria de infinito. Quando temos , analisamos o limite da integral definida conforme o limite superior tende ao infinito:
Passo 3
Agora, vamos calcular a integral definida . A antiderivada de é , então:
Sabemos que , então a expressão fica:
Passo 4
Agora, vamos analisar o limite dessa expressão quando tende ao infinito:
A função oscila entre -1 e 1 para todo valor de , e não se aproxima de nenhum valor específico quando tende ao infinito. Isso significa que oscila entre 0 e 2 sem se estabilizar.
Passo 5
Como o limite não existe (a expressão continua oscilando sem se aproximar de um valor fixo), concluímos que a integral não tem um valor definido. Portanto, a integral diverge.