Dê duas soluções para cada uma das equações com a condição inicial dada:
y' = 3 * raiz(cubo(y^2)) * (3 * x^2 + 1), y(0) = 0.

Passo 1

Então, a gente tem um exercício de Equações Diferenciais, uma área da matemática que estuda como as funções mudam. A equação que precisamos resolver é:
Nosso objetivo é encontrar duas soluções para essa equação que passam pelo ponto inicial . Para resolver isso, vamos precisar entender como separar as variáveis e integrar ambos os lados da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação de uma forma que facilite a separação das variáveis e . A equação original é:
Vamos lembrar que representa a derivada de em relação a , ou seja, . Então, podemos escrever:
Aqui, usamos a propriedade de .

Passo 3

Agora, vamos separar as variáveis e para integrar. Vamos dividir ambos os lados por e multiplicar por :
Isso nos permite integrar cada lado em relação à sua variável correspondente.

Passo 4

Vamos integrar ambos os lados. Começando com o lado esquerdo:
Para integrar , usamos a regra da potência:
Aplicando isso:
Agora, o lado direito:

Passo 5

Agora, juntando os resultados das integrações:
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por 3:
Para simplificar, vamos chamar de , onde é uma constante qualquer:

Passo 6

Agora, queremos encontrar a constante usando a condição inicial . Substituindo e na equação:
Então, nossa equação fica:

Passo 7

Para encontrar , vamos elevar ambos os lados ao cubo:
Essa é uma das soluções da equação diferencial dada a condição inicial.

Passo 8

No entanto, precisamos lembrar que às vezes, equações diferenciais podem ter mais de uma solução que satisfaz a mesma condição inicial, especialmente se a função derivada não for única no ponto inicial. Observando a equação original:
Se para todos os , a derivada também será zero, o que satisfaz a equação:
Então, é outra solução que passa pela condição inicial .

Resposta

As duas soluções para a equação diferencial dada a condição inicial são:

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