Dê duas soluções para cada uma das equações com a condição inicial dada:
.
Passo 1
Então, a gente tem um exercício de Equações Diferenciais, uma área da matemática que estuda como as funções mudam. A equação que precisamos resolver é:
Nosso objetivo é encontrar duas soluções para essa equação que passam pelo ponto inicial
. Para resolver isso, vamos precisar entender como separar as variáveis e integrar ambos os lados da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação de uma forma que facilite a separação das variáveis
e
. A equação original é:
Vamos lembrar que
representa a derivada de
em relação a
, ou seja,
. Então, podemos escrever:
Aqui, usamos a propriedade de
.
Passo 3
Agora, vamos separar as variáveis
e
para integrar. Vamos dividir ambos os lados por
e multiplicar por
:
Isso nos permite integrar cada lado em relação à sua variável correspondente.
Passo 4
Vamos integrar ambos os lados. Começando com o lado esquerdo:
Para integrar
, usamos a regra da potência:
Aplicando isso:
Agora, o lado direito:
Passo 5
Agora, juntando os resultados das integrações:
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por 3:
Para simplificar, vamos chamar
de
, onde
é uma constante qualquer:
Passo 6
Agora, queremos encontrar a constante
usando a condição inicial
. Substituindo
e
na equação:
Então, nossa equação fica:
Passo 7
Para encontrar
, vamos elevar ambos os lados ao cubo:
Essa é uma das soluções da equação diferencial dada a condição inicial.
Passo 8
No entanto, precisamos lembrar que às vezes, equações diferenciais podem ter mais de uma solução que satisfaz a mesma condição inicial, especialmente se a função derivada não for única no ponto inicial. Observando a equação original:
Se
para todos os
, a derivada
também será zero, o que satisfaz a equação:
Então,
é outra solução que passa pela condição inicial
.
Resposta
As duas soluções para a equação diferencial dada a condição inicial são: