Mostre que a substituição transforma a equação numa equaçăo de variáveis separáveis. Aplique esse método para resolver as equaçôes

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma equação diferencial na forma e queremos mostrar que, ao fazer a substituição , ela se torna uma equação de variáveis separáveis. Depois disso, vamos aplicar esse método para resolver a equação dada. Vamos precisar entender sobre substituições em equações diferenciais e como separar as variáveis para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma equação de variáveis separáveis. É uma equação diferencial onde podemos escrever tudo que envolve de um lado e tudo que envolve do outro lado da equação, facilitando a integração. A substituição é uma forma de transformar a equação original para essa forma mais simples.

Passo 3

Vamos aplicar a substituição . Para isso, precisamos encontrar em termos de . Derivando ambos os lados em relação a :
Isso nos dá:

Passo 4

Agora, substituímos na equação original :
Queremos que a parte se relacione com . Observando a substituição , queremos que seja uma função linear de .
Para isso, escolhemos , , e , de modo que:

Passo 5

Substituindo estes valores na expressão de :
Simplificando:

Passo 6

Note que . Então, temos:
Agora, temos uma equação de variáveis separáveis:

Passo 7

Vamos integrar ambos os lados. A integral de é , e a integral de é , onde é a constante de integração:

Passo 8

Lembrando que , substituímos de volta:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é dada por:
Onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados

Determine se a integral diverge ou converge e, nesse último caso, calcule a integral.
(a)
Resolva as equaçōes:
Resolva as equaçōes: