Mostre que a substituição
transforma a equação
numa equaçăo de variáveis separáveis. Aplique esse método para resolver as equaçôes
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma equação diferencial na forma
e queremos mostrar que, ao fazer a substituição
, ela se torna uma equação de variáveis separáveis. Depois disso, vamos aplicar esse método para resolver a equação dada. Vamos precisar entender sobre substituições em equações diferenciais e como separar as variáveis para facilitar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma equação de variáveis separáveis. É uma equação diferencial onde podemos escrever tudo que envolve
de um lado e tudo que envolve
do outro lado da equação, facilitando a integração. A substituição
é uma forma de transformar a equação original para essa forma mais simples.
Passo 3
Vamos aplicar a substituição
. Para isso, precisamos encontrar
em termos de
. Derivando ambos os lados em relação a
:
Isso nos dá:
Passo 4
Agora, substituímos
na equação original
:
Queremos que a parte
se relacione com
. Observando a substituição
, queremos que
seja uma função linear de
.
Para isso, escolhemos
,
, e
, de modo que:
Passo 5
Substituindo estes valores na expressão de
:
Simplificando:
Passo 6
Note que
. Então, temos:
Agora, temos uma equação de variáveis separáveis:
Passo 7
Vamos integrar ambos os lados. A integral de
é
, e a integral de
é
, onde
é a constante de integração:
Passo 8
Lembrando que
, substituímos de volta:
Resposta
A solução geral da equação diferencial
é dada por:
Onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Determine se a integral diverge ou converge e, nesse último caso, calcule a integral.
(a)
(a)
Resolva as equaçōes:
Resolva as equaçōes: