Utilizando a tabela e propriedades da transformada de Laplace, calcule as transformadas das funções a seguir.
f(x) = x * e^(2*x) - 2 * e^(-x)
F(s) = 1/((s-2)^{2}) - 2/(s+1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular a transformada de Laplace da função . A matéria que estamos utilizando aqui é a Transformada de Laplace, que é uma ferramenta poderosa para resolver equações diferenciais e analisar sistemas lineares. Para resolver isso, vamos precisar usar a tabela de transformadas de Laplace e algumas propriedades básicas dessa transformada.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a função em duas partes para facilitar a resolução:
Isso significa que vamos calcular a transformada de Laplace de cada parte individualmente e depois fazer a combinação dos resultados.

Passo 3

Vamos começar com a primeira parte: . Sabemos que a transformada de Laplace de é:
Mas aqui temos um fator extra de . Existe uma propriedade que nos ajuda nisso:
Aplicando isso, temos que , então:
Vamos calcular a derivada:

Passo 4

Agora, vamos para a segunda parte: . A transformada de Laplace de é, como mencionamos antes:
Aqui, , então:

Resposta

Somando as duas partes que calculamos:

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