Determine integral duplaS z d S, onde S é a esfera x^2+y^2+z^2=4 com y >= 0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral dupla de sobre a superfície , que é uma esfera definida por com . Isso envolve cálculo de integrais de superfície, que geralmente usamos nas áreas de cálculo multivariável e geometria analítica.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a esfera. A equação representa uma esfera com raio 2, já que , e centrada na origem (0,0,0).

Passo 3

Agora, como queremos trabalhar com integrais sobre superfícies esféricas, a gente vai usar coordenadas esféricas. Nessas coordenadas, qualquer ponto na esfera pode ser representado por dois ângulos: x = r sinphi costheta (phi), que é o ângulo em relação ao eixo z, e y = r sinphi sintheta (theta), que é o ângulo em relação ao eixo x no plano xy.
As coordenadas esféricas ficam assim:
z = r cosphi
Onde para nossa esfera.

Passo 4

O próximo passo é achar o elemento de área dS = r^2 sinphi , dphi , dtheta na esfera. Em coordenadas esféricas, o elemento de área é dado por:
dS = 4 sinphi , dphi , dtheta
Substituindo :

Passo 5

Como a condição é phi: 0 a pi , isso significa que estamos considerando apenas a metade da esfera onde theta: 0 a pi varia de 0 a (pois é positivo nessa faixa). Então, os limites de integração são:

Passo 6

Agora, substituímos tudo na integral:
integral duplaS z , dS = integral0^pi integral0^pi z cdot dS
Substituindo =integral0^pi integral0^pi 2 cosphi cdot 4 sinphi , dphi , dtheta e =8 integral0^pi integral0^pi cosphi sinphi , dphi , dtheta :

Passo 7

Vamos resolver a integral interna primeiro:
integral0^pi cosphi sinphi , dphi
Fazendo a substituição = integral0^pi u , du = 12 u^2 |0^pi = 12 (sin^2pi - sin^20) = 0 , :
Porque e .

Passo 8

Como a integral interna deu zero, todo o produto também é zero:
8 times 0 = 0

Resposta

0

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