Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral dupla de sobre a superfície , que é uma esfera definida por com . Isso envolve cálculo de integrais de superfície, que geralmente usamos nas áreas de cálculo multivariável e geometria analítica.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a esfera. A equação representa uma esfera com raio 2, já que , e centrada na origem (0,0,0).
Passo 3
Agora, como queremos trabalhar com integrais sobre superfícies esféricas, a gente vai usar coordenadas esféricas. Nessas coordenadas, qualquer ponto na esfera pode ser representado por dois ângulos: (phi), que é o ângulo em relação ao eixo z, e (theta), que é o ângulo em relação ao eixo x no plano xy.
As coordenadas esféricas ficam assim:
Onde para nossa esfera.
Passo 4
O próximo passo é achar o elemento de área na esfera. Em coordenadas esféricas, o elemento de área é dado por:
Substituindo :
Passo 5
Como a condição é , isso significa que estamos considerando apenas a metade da esfera onde varia de 0 a (pois é positivo nessa faixa). Então, os limites de integração são:
Passo 6
Agora, substituímos tudo na integral:
Substituindo e :
Passo 7
Vamos resolver a integral interna primeiro:
Fazendo a substituição , :
Porque e .
Passo 8
Como a integral interna deu zero, todo o produto também é zero: