Determine se a série é convergente ou divergente. Se ela for convergente, calcule sua soma.
sumn=0^infty 3^n+1(-2)^n.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma série infinita e a gente precisa descobrir se ela converge ou diverge. Se der convergir, a gente também calcula a soma dela. Vamos precisar entender sobre séries geométricas pra resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a série direitinho:
sumn=0^infty 3^n+1(-2)^n
Podemos simplificar isso um pouco. Note que 3 cdot sumn=0^infty (3-2)^n, então a série fica:

Passo 3

Agora, perceba que essa é uma série geométrica. Uma série geométrica tem a forma:
sumn=0^infty ar^n
onde é o primeiro termo e é a razão. No nosso caso, e .

Passo 4

Pra uma série geométrica convergir, o valor absoluto da razão |r| = |3-2| = 32 = 1,5 tem que ser menor que 1, ou seja, . Vamos conferir:

Como , a condição não é satisfeita.

Resposta

A série é divergente.

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