Use o Teorema de Stokes para calcular , com
é a fronteira do paraboloide no primeiro octante. Considere orientada no sentido antihorário quando vista de cima.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício usando o Teorema de Stokes! O enunciado pede para calcular a integral de linha de um campo vetorial ao longo de uma curva , que é a fronteira de um paraboloide no primeiro octante. Para isso, vamos precisar entender o que é o Teorema de Stokes e como aplicar ele para transformar essa integral de linha em uma integral de superfície, facilitando nossa vida.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que diz o Teorema de Stokes. Ele relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral de superfície sobre uma superfície que tem como borda. A fórmula é:
Ou seja, a integral de linha da força ao longo de é igual à integral da rotação de ( ) sobre a superfície .

Passo 3

Vamos calcular a rotação de . Temos:
A rotação (ou curl) de é dada por:
Calculando as derivadas:
  • Componente :
  • Componente :
  • Componente :
Então, temos:

Passo 4

Agora, precisamos parametrizar a superfície , que é o paraboloide no primeiro octante. No primeiro octante, , , e . Para facilitar, vamos usar coordenadas polares, já que o paraboloide possui simetria circular.
Em coordenadas polares:
O intervalo para será de até (onde ), e para de até para ficar no primeiro octante.

Passo 5

Vamos calcular o vetor área . Em coordenadas polares, temos:
Calculando as derivadas parciais:
Então,

Passo 6

Agora, vamos calcular o produto escalar :
Substituindo e :
Sabemos que , então:

Passo 7

Agora, vamos integrar isso sobre a superfície:
Integrando primeiro em :
Agora, integrando em :

Resposta

A integral é igual a .

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Calcule e ;
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O campo é conservativo? Em caso afirmativo, encontre sua função potencial ;
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Determine , onde é a esfera com .