é a fronteira do paraboloide no primeiro octante. Considere orientada no sentido antihorário quando vista de cima.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício usando o Teorema de Stokes! O enunciado pede para calcular a integral de linha de um campo vetorial ao longo de uma curva , que é a fronteira de um paraboloide no primeiro octante. Para isso, vamos precisar entender o que é o Teorema de Stokes e como aplicar ele para transformar essa integral de linha em uma integral de superfície, facilitando nossa vida.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que diz o Teorema de Stokes. Ele relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral de superfície sobre uma superfície que tem como borda. A fórmula é:
Ou seja, a integral de linha da força ao longo de é igual à integral da rotação de () sobre a superfície .
Passo 3
Vamos calcular a rotação de . Temos:
A rotação (ou curl) de é dada por:
Calculando as derivadas:
Componente :
Componente :
Componente :
Então, temos:
Passo 4
Agora, precisamos parametrizar a superfície , que é o paraboloide no primeiro octante. No primeiro octante, , , e . Para facilitar, vamos usar coordenadas polares, já que o paraboloide possui simetria circular.
Em coordenadas polares:
O intervalo para será de até (onde ), e para de até para ficar no primeiro octante.
Passo 5
Vamos calcular o vetor área . Em coordenadas polares, temos: