Use o Teorema de Stokes para calcular integralC F d r, com
F(x, y, z)=(-4 x^2 y+1,-2,-x y+z)
C é a fronteira do paraboloide z=2-x^2-y^2 no primeiro octante. Considere C orientada no sentido antihorário quando vista de cima.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício usando o Teorema de Stokes! O enunciado pede para calcular a integral de linha de um campo vetorial F ao longo de uma curva C, que é a fronteira de um paraboloide no primeiro octante. Para isso, vamos precisar entender o que é o Teorema de Stokes e como aplicar ele para transformar essa integral de linha em uma integral de superfície, facilitando nossa vida.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que diz o Teorema de Stokes. Ele relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada C com uma integral de superfície sobre uma superfície S que tem C como borda. A fórmula é:
ointC F cdot dr = integral duplaS (nabla times F) cdot dS
Ou seja, a integral de linha da força F ao longo de C é igual à integral da rotação de F ( S) sobre a superfície .

Passo 3

Vamos calcular a rotação de F. Temos:
F(x, y, z) = (-4x^2 y + 1, -2, -xy + z)
A rotação (ou curl) de F é dada por:
nabla times F = ( partialpartial y (-xy + z) - partialpartial z (-2) ) i - ( partialpartial x (-xy + z) - partialpartial z (-4x^2 y + 1) ) j + ( partialpartial x (-2) - partialpartial y (-4x^2 y + 1) ) k
Calculando as derivadas:
  • Componente i:
    partialpartial y (-xy + z) = -x partialpartial z (-2) = 0 Rightarrow -x - 0 = -x
  • Componente j:
    partialpartial x (-xy + z) = -y partialpartial z (-4x^2 y + 1) = 0 Rightarrow -y - 0 = -y
  • Componente k:
    partialpartial x (-2) = 0 partialpartial y (-4x^2 y + 1) = -4x^2 Rightarrow 0 - (-4x^2) = 4x^2
Então, temos:
nabla times F = (-x) i - (-y) j + 4x^2 k = (-x, y, 4x^2)

Passo 4

Agora, precisamos parametrizar a superfície S, que é o paraboloide z = 2 - x^2 - y^2 no primeiro octante. No primeiro octante, x >= 0, y >= 0, e z >= 0. Para facilitar, vamos usar coordenadas polares, já que o paraboloide possui simetria circular.
Em coordenadas polares:
x = r cos theta y = r sin theta z = 2 - r^2
O intervalo para r será de 0 até raiz2 (onde z=0), e para theta de 0 até pi2 para ficar no primeiro octante.

Passo 5

Vamos calcular o vetor área dS. Em coordenadas polares, temos:
dS = (-partial zpartial r cos theta, -partial zpartial r sin theta, 1) , r , dr , dtheta
Calculando as derivadas parciais:
partial zpartial r = -2r
Então,
dS = (2r cos theta, 2r sin theta, 1) , r , dr , dtheta = (2r^2 cos theta, 2r^2 sin theta, r) , dr , dtheta

Passo 6

Agora, vamos calcular o produto escalar (nabla times F) cdot dS:
(nabla times F) cdot dS = (-x, y, 4x^2) cdot (2r^2 cos theta, 2r^2 sin theta, r) = (-x)(2r^2 cos theta) + y(2r^2 sin theta) + 4x^2(r)
Substituindo x = r cos theta e y = r sin theta:
= -r cos theta cdot 2r^2 cos theta + r sin theta cdot 2r^2 sin theta + 4(r cos theta)^2 cdot r = -2r^3 cos^2 theta + 2r^3 sin^2 theta + 4r^3 cos^2 theta = (-2 cos^2 theta + 2 sin^2 theta + 4 cos^2 theta) r^3 = (2 cos^2 theta + 2 sin^2 theta) r^3 = 2(cos^2 theta + sin^2 theta) r^3
Sabemos que cos^2 theta + sin^2 theta = 1, então:
= 2 cdot 1 cdot r^3 = 2r^3

Passo 7

Agora, vamos integrar isso sobre a superfície:
integral duplaS (nabla times F) cdot dS = integral0^pi2 integral0^raiz2 2r^3 , dr , dtheta
Integrando primeiro em r:
integral0^raiz2 2r^3 , dr = 2 [ r^44 ]0^raiz2 = 2 ( (raiz2)^44 - 0 ) = 2 ( 44 ) = 2 cdot 1 = 2
Agora, integrando em theta:
integral0^pi2 2 , dtheta = 2 theta g|0^pi2 = 2 cdot pi2 - 0 = pi

Resposta

A integral integralC F cdot dr é igual a pi.

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