Considere a superfície com e . Parametrize a superfície. (Dica: use e para parametrizar para fazer sentido com o item abaixo).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para parametrizar a superfície definida por , com e . Isso está relacionado ao conteúdo de parametrização de superfícies na geometria analítica. Para resolver, vamos precisar entender como representar , e em termos de duas variáveis, que vamos chamar de e .

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a equação da superfície . Isso representa um cilindro circular com raio 3 em torno do eixo . Como temos , estamos considerando apenas a metade superior desse cilindro.

Passo 3

Para parametrizar o cilindro, vamos usar coordenadas polares para as variáveis e . Podemos definir:
Onde é o raio e o ângulo. Como , sabemos que .

Passo 4

Agora, precisamos considerar a restrição para , que é . Vamos usar a variável para representar a altura . Assim, definimos:
Com variando entre -1 e 2.

Passo 5

Além disso, como estamos trabalhando com a metade superior do cilindro ( ), o ângulo vai de 0 a radianos, cobrindo de 0 a 180 graus.

Passo 6

Juntando tudo, nossa parametrização fica:
Onde varia de 0 a e varia de -1 a 2.

Resposta

A parametrização da superfície é dada por:
com e .

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é a fronteira do paraboloide no primeiro octante. Considere orientada no sentido antihorário quando vista de cima.
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Calcule e ;
Determine , onde é a esfera com .
Determine se a série é convergente ou divergente. Se ela for convergente, calcule sua soma.
.