Determine se a integral int - infty ^ 0 1 3-4x dx converge ou diverge, e assinale a alternativa correta:
Alternativa 1:Diverge
Alternativa 2:Converge para -1
Alternativa 3:Converge para 0
Alternativa 4:Converge para 1
Alternativa 5:Converge para 3

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral que a gente tem aqui: integral-infty^0 13 - 4x , dx. O conteúdo envolve integrais impróprias, que são aquelas onde os limites de integração são infinitos ou onde a função tem descontinuidades. Vamos precisar usar técnicas de integração e entender o comportamento da função nos limites dados.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a antiderivada da função 13 - 4x. Para isso, fazemos uma substituição simples:
u = 3 - 4x
du = -4 , dx
dx = du-4
Agora, substituímos na integral:
integral 1u cdot du-4 = -14 integral 1u , du = -14 ln|u| + C
= -14 ln|3 - 4x| + C

Passo 3

Agora, vamos aplicar os limites de integração de -infty a 0:
integral-infty^0 13 - 4x , dx = lima to -infty [ -14 ln|3 - 4x| ]a^0
= lima to -infty [ -14 ln|3 - 0| + 14 ln|3 - 4a| ]
= lima to -infty [ -14 ln3 + 14 ln|3 - 4a| ]

Passo 4

Vamos analisar o limite lima to -infty ln|3 - 4a|. Como a tende a -infty, 3 - 4a tende a +infty porque estamos subtraindo um número negativo muito grande. Então:
ln|3 - 4a| to infty
Portanto:
-14 ln3 + 14 ln|3 - 4a| to -14 ln3 + 14 cdot infty = infty

Resposta

A integral diverge. Alternativa 1: Diverge.

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