Determine a integral integral1^5 x^2+1raizx-1 d x na forma de uma fração irredutível ab.
l a=square b=square

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida . Aqui estamos lidando com cálculo integral, especificamente integrais envolvendo funções racionais e radicais. Para resolver isso, vamos precisar usar uma mudança de variável para simplificar a expressão e depois integrar termo a termo.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos definir . Isso nos ajuda a lidar com o radical no denominador.

Passo 3

Com , derivando ambos os lados em relação a , temos . Além disso, precisamos ajustar os limites de integração:
  • Quando , .
  • Quando , .

Passo 4

Agora, vamos reescrever a integral em termos de x = u + 1 Rightarrow x^2 + 1 = (u + 1)^2 + 1 = u^2 + 2u + 2 :
integral0^4 u^2 + 2u + 2raizu , du
Substituindo na integral:

Passo 5

Vamos simplificar a fração dividindo cada termo do numerador por integral0^4 ( u^3/2 + 2u^1/2 + 2u^-1/2 ) , du :
Isso fica mais fácil de integrar termo a termo.

Passo 6

Agora, integramos cada termo separadamente:
integral u^3/2 , du = 25u^5/2
integral 2u^1/2 , du = 43u^3/2
integral 2u^-1/2 , du = 4u^1/2
Então, a integral fica:
25u^5/2 + 43u^3/2 + 4u^1/2 |0^4

Passo 7

Agora, vamos substituir os limites de integração:
u = 4:
25(4)^5/2 + 43(4)^3/2 + 4(4)^1/2 = 25(32) + 43(8) + 4(2) = 645 + 323 + 8
u = 0:
25(0)^5/2 + 43(0)^3/2 + 4(0)^1/2 = 0

Passo 8

Calculando os valores:
645 + 323 + 8 = 64 times 315 + 32 times 515 + 8 times 1515 = 192 + 160 + 12015 = 47215

Resposta

l a=472 b=15

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