Determine a integral
na forma de uma fração irredutível
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral definida
. Aqui estamos lidando com cálculo integral, especificamente integrais envolvendo funções racionais e radicais. Para resolver isso, vamos precisar usar uma mudança de variável para simplificar a expressão e depois integrar termo a termo.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos definir
. Isso nos ajuda a lidar com o radical no denominador.
Passo 3
Com
, derivando ambos os lados em relação a
, temos
. Além disso, precisamos ajustar os limites de integração:
- Quando
, . - Quando
, .
Passo 4
Agora, vamos reescrever a integral em termos de
:
Substituindo na integral:
Passo 5
Vamos simplificar a fração dividindo cada termo do numerador por
:
Isso fica mais fácil de integrar termo a termo.
Passo 6
Agora, integramos cada termo separadamente:
Então, a integral fica:
Passo 7
Agora, vamos substituir os limites de integração:
Passo 8
Calculando os valores: