Esboce o sólido, monte uma integral tripla e encontre o volume do menor sólido delimitado por e .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente esboçar o sólido, montar uma integral tripla e encontrar o volume do menor sólido delimitado pela esfera e pelo plano . Então, estamos no campo do cálculo integral em coordenadas esféricas para encontrar volumes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o sólido que estamos tratando. A equação representa uma esfera de raio 1 centrada na origem. O plano corta essa esfera, e queremos o volume da parte da esfera que fica acima desse plano.
Passo 3
Para esboçar, imagine uma esfera perfeita. O plano corta a esfera horizontalmente, criando uma “cápsula” na parte superior. Esse é o sólido cujo volume queremos calcular.
Passo 4
Agora, vamos configurar a integral tripla. Como estamos lidando com uma esfera, é mais fácil usar coordenadas esféricas. As coordenadas esféricas são dadas por:
Onde é a distância do ponto à origem, é o ângulo polar (do eixo z), e é o ângulo azimutal (no plano xy).
Passo 5
O volume em coordenadas esféricas é dado por:
Precisamos determinar os limites de integração para , e .
Passo 6
Primeiro, varia de 0 a já que a simetria é completa ao redor do eixo z.
Passo 7
Para , como estamos dentro da esfera de raio 1, varia de 0 a 1.
Passo 8
Agora, para . O plano corresponde a . Então, para cada , o ângulo vai de 0 até , onde satisfaz , ou seja:
Mas como varia até 1, podemos simplificar. O ângulo máximo ocorre quando :
Então, varia de 0 a .
Passo 9
Agora, juntando tudo, a integral tripla para o volume é:
Passo 10
Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a :
Passo 11
Substituindo na integral:
Passo 12
Agora, integramos em relação a :
Passo 13
Substituindo novamente:
Resposta
O volume do menor sólido delimitado pela esfera e pelo plano é unidades cúbicas.