(a) Determine a integral tripla

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral tripla juntos! O enunciado pede para calcular:
Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente integrais triplas. Para resolver isso, vamos integrar passo a passo, começando da integral mais interna até a mais externa.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na integral mais interna, que é em relação a :
Aqui, é tratado como uma constante porque estamos integrando em relação a .

Passo 3

Vamos resolver essa integral em :
A integral de em relação a é:
Então, substituindo os limites:

Passo 4

Agora, substituímos o resultado na próxima integral, que é em relação a :
Mas parece que há um pequeno engano nos limites de integração. O limite superior de não pode depender de mesmo. Vamos reavaliar os limites.
Na verdade, o enunciado original parece ter os limites de integração um pouco confusos. Vamos reorganizar a integral para facilitar:
Agora, a ordem das integrais faz mais sentido: primeiro , depois , e por último .

Passo 5

Já resolvemos a integral em e obtivemos . Agora vamos integrar isso em relação a :
A integral de em relação a é:
Então:

Passo 6

Agora, restou integrar isso em relação a :
Vamos expandir :
Então, a integral fica:

Passo 7

Agora, substituímos os limites:
Para :
Para :
Então, a integral total é:

Resposta

O valor da integral tripla é 16,2.

Exercícios relacionados

© Calcular
(2,0) Resolva a equaçao diferencial homogênea:
(a) Mude para coordenadas cilíndricas ou esféricas para avaliar a integral:
(b) Seja o campo vetorial dado por e seja o caminho . Determine