(a) Determine a integral tripla
integral0^3 integral0^raiz9-x^2 integral0^x x y d y d x d z

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral tripla juntos! O enunciado pede para calcular:
integral0^3 integral0^raiz9-x^2 integral0^x x y , dy , dx , dz
Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente integrais triplas. Para resolver isso, vamos integrar passo a passo, começando da integral mais interna até a mais externa.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na integral mais interna, que é em relação a integral0^x x y , dy :
Aqui, é tratado como uma constante porque estamos integrando em relação a .

Passo 3

Vamos resolver essa integral em integral0^x x y , dy = x integral0^x y , dy :
integral y , dy = 12 y^2
A integral de x [ 12 y^2 ]0^x = x ( 12 x^2 - 0 ) = 12 x^3 em relação a é:
Então, substituindo os limites:

Passo 4

Agora, substituímos o resultado na próxima integral, que é em relação a integral0^raiz9 - x^2 12 x^3 , dx :
integral0^3 integral0^raiz9 - z^2 integral0^x x y , dy , dx , dz
Mas parece que há um pequeno engano nos limites de integração. O limite superior de não pode depender de mesmo. Vamos reavaliar os limites.
Na verdade, o enunciado original parece ter os limites de integração um pouco confusos. Vamos reorganizar a integral para facilitar:
Agora, a ordem das integrais faz mais sentido: primeiro , depois , e por último .

Passo 5

Já resolvemos a integral em integral0^raiz9 - z^2 12 x^3 , dx e obtivemos integral x^3 , dx = 14 x^4 . Agora vamos integrar isso em relação a 12 [ 14 x^4 ]0^raiz9 - z^2 = 18 ( ( raiz9 - z^2 )^4 - 0 ) = 18 (9 - z^2)^2 :
A integral de em relação a é:
Então:

Passo 6

Agora, restou integrar isso em relação a integral0^3 18 (9 - z^2)^2 , dz :
(9 - z^2)^2 = 81 - 18 z^2 + z^4
Vamos expandir 18 integral0^3 (81 - 18 z^2 + z^4) , dz = 18 [ 81 z - 6 z^3 + 15 z^5 ]0^3 :
Então, a integral fica:

Passo 7

Agora, substituímos os limites:
Para 81 times 3 - 6 times 3^3 + 15 times 3^5 = 243 - 162 + 2435 = 81 + 48.6 = 129.6 :
0 - 0 + 0 = 0
Para 18 times 129.6 = 16.2 :
Então, a integral total é:

Resposta

O valor da integral tripla é 16,2.

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