(a) Mude para coordenadas cilíndricas ou esféricas para avaliar a integral:
Passo 1
Vamos dar uma olhada no enunciado. Temos uma integral tripla em coordenadas cartesianas:
O conteúdo envolvido aqui é cálculo multivariável, especificamente integrais triplas. Para facilitar o cálculo, vamos mudar para coordenadas cilíndricas, que são mais adequadas para simetrias circulares como essa. Isso nos ajudará a simplificar os limites de integração e a função a ser integrada.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as coordenadas cilíndricas. Em coordenadas cilíndricas, usamos
onde:
-
é a distância do ponto à origem no plano , -
é o ângulo em relação ao eixo positivo, -
é a mesma coordenada das coordenadas cartesianas.
A relação entre coordenadas cartesianas e cilíndricas é:
Além disso, o elemento de volume em coordenadas cilíndricas é dado por
.
Passo 3
Agora, vamos reescrever os limites de integração em coordenadas cilíndricas:
- Os limites para
e descrevem um círculo de raio 3 no plano , então vai de 0 a 3. - O ângulo
vai de a para cobrir todo o círculo. - Para
, ele varia de até 3.
Portanto, nossa integral em coordenadas cilíndricas fica:
Aqui,
é igual a
, e o fator extra de
vem do elemento de volume
.
Passo 4
Vamos simplificar a integral. Primeiro, observamos que temos
. Então, a integral fica:
Passo 5
Vamos integrar em relação a
primeiro:
Então, a integral agora é:
Passo 6
Agora, vamos integrar em relação a
:
Calculando:
Passo 7
Agora, a integral fica:
Resposta
A integral avaliada é
.
Exercícios relacionados
(a) Determine a integral tripla
© Calcular
(b) Seja
o campo vetorial dado por
e seja
o caminho
. Determine
(b) Determine o volume da regi ao limitada acima pela paraboloide
, e abaixo pelo quadrado
.