(a) Mude para coordenadas cilíndricas ou esféricas para avaliar a integral:

Passo 1

Vamos dar uma olhada no enunciado. Temos uma integral tripla em coordenadas cartesianas:
O conteúdo envolvido aqui é cálculo multivariável, especificamente integrais triplas. Para facilitar o cálculo, vamos mudar para coordenadas cilíndricas, que são mais adequadas para simetrias circulares como essa. Isso nos ajudará a simplificar os limites de integração e a função a ser integrada.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as coordenadas cilíndricas. Em coordenadas cilíndricas, usamos onde:
  • é a distância do ponto à origem no plano ,
  • é o ângulo em relação ao eixo positivo,
  • é a mesma coordenada das coordenadas cartesianas.
A relação entre coordenadas cartesianas e cilíndricas é:
Além disso, o elemento de volume em coordenadas cilíndricas é dado por .

Passo 3

Agora, vamos reescrever os limites de integração em coordenadas cilíndricas:
  • Os limites para e descrevem um círculo de raio 3 no plano , então vai de 0 a 3.
  • O ângulo vai de a para cobrir todo o círculo.
  • Para , ele varia de até 3.
Portanto, nossa integral em coordenadas cilíndricas fica:
Aqui, é igual a , e o fator extra de vem do elemento de volume .

Passo 4

Vamos simplificar a integral. Primeiro, observamos que temos . Então, a integral fica:

Passo 5

Vamos integrar em relação a primeiro:
Então, a integral agora é:

Passo 6

Agora, vamos integrar em relação a :
Calculando:

Passo 7

Agora, a integral fica:

Resposta

A integral avaliada é .

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