(a) Mude para coordenadas cilíndricas ou esféricas para avaliar a integral:
integral-3^3 integral-raiz9-x^2^raiz9-x^2 integralraizx^2+y^2^3(raizx^2+y^2) d z d y d x

Passo 1

Vamos dar uma olhada no enunciado. Temos uma integral tripla em coordenadas cartesianas:
integral-3^3 integral-raiz9-x^2^raiz9-x^2 integralraizx^2+y^2^3(raizx^2+y^2) dz , dy , dx
O conteúdo envolvido aqui é cálculo multivariável, especificamente integrais triplas. Para facilitar o cálculo, vamos mudar para coordenadas cilíndricas, que são mais adequadas para simetrias circulares como essa. Isso nos ajudará a simplificar os limites de integração e a função a ser integrada.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as coordenadas cilíndricas. Em coordenadas cilíndricas, usamos (r, theta, z) onde:
  • r é a distância do ponto à origem no plano xy,
  • theta é o ângulo em relação ao eixo x positivo,
  • z é a mesma coordenada z das coordenadas cartesianas.
A relação entre coordenadas cartesianas e cilíndricas é:
x = r costheta, y = r sintheta, z = z
Além disso, o elemento de volume em coordenadas cilíndricas é dado por dV = r , dr , dtheta , dz.

Passo 3

Agora, vamos reescrever os limites de integração em coordenadas cilíndricas:
  • Os limites para x e y descrevem um círculo de raio 3 no plano xy, então r vai de 0 a 3.
  • O ângulo theta vai de 0 a 2pi para cobrir todo o círculo.
  • Para z, ele varia de raizx^2+y^2 = r até 3.
Portanto, nossa integral em coordenadas cilíndricas fica:
integral0^2pi integral0^3 integralr^3 r cdot r , dz , dr , dtheta
Aqui, raizx^2+y^2 é igual a r, e o fator extra de r vem do elemento de volume dV.

Passo 4

Vamos simplificar a integral. Primeiro, observamos que temos r cdot r = r^2. Então, a integral fica:
integral0^2pi integral0^3 integralr^3 r^2 , dz , dr , dtheta

Passo 5

Vamos integrar em relação a z primeiro:
integralr^3 r^2 , dz = r^2 [z]r^3 = r^2(3 - r)
Então, a integral agora é:
integral0^2pi integral0^3 r^2(3 - r) , dr , dtheta

Passo 6

Agora, vamos integrar em relação a r:
integral0^3 r^2(3 - r) , dr = integral0^3 (3r^2 - r^3) , dr = [ r^3 - r^44 ]0^3
Calculando:
3^3 - 3^44 = 27 - 814 = 1084 - 814 = 274

Passo 7

Agora, a integral fica:
integral0^2pi 274 , dtheta = 274 [theta]0^2pi = 274 cdot 2pi = 27pi2

Resposta

A integral avaliada é dfrac27pi2.

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