Determine a interseção das retas u: x=t, y=1-t, z=1+2 t e v: x=1+s, y=1+s, z=-1

Passo 1

Beleza, galera! O exercício pede pra gente encontrar o ponto onde as retas e se cruzam, ou seja, onde elas têm as mesmas coordenadas , e . Para isso, vamos usar as equações paramétricas das retas e resolver um sistema de equações para descobrir os valores dos parâmetros que fazem tudo bater certinho.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as equações das retas:
Para a reta x = t, y = 1 - t, z = 1 + 2t :
x = 1 + s, y = 1 + s, z = -1
Para a reta :
Aqui, e são os parâmetros das retas e , respectivamente. Nossa missão é achar valores de e que façam todas as coordenadas iguais nas duas retas.

Passo 3

Agora, vamos igualar as coordenadas correspondentes das duas retas para montar um sistema de equações:
t = 1 + s (1)
1 - t = 1 + s (2)
1 + 2t = -1 (3)
Essas equações vêm do fato de que, no ponto de interseção, as coordenadas , e das duas retas devem ser iguais.

Passo 4

Vamos resolver o sistema passo a passo.
Primeiro, olhamos para a equação (3):
1 + 2t = -1
Subtraindo 1 de ambos os lados:
2t = -2
Dividindo por 2:
t = -1
Com -1 = 1 + s , substituímos na equação (1):
s = -2
Subtraindo 1 de ambos os lados:
1 - (-1) = 1 + (-2)
Agora, vamos verificar se esses valores satisfazem a equação (2):
2 = -1
Isso não faz sentido! Temos uma contradição, o que significa que não existe um ponto que satisfaça todas as três equações ao mesmo tempo.

Resposta

As retas e não se intersectam.

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