Determine a posição relativa da reta r: x=1-t, y=2 t, z=2+t e o plano alpha: x-2 y+z-1=

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar a posição relativa da reta em relação ao plano . Aqui, estamos trabalhando com geometria analítica, especificamente com retas e planos no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar entender como verificar se a reta está paralela, contida ou intersecando o plano.

Passo 2

Primeiro, identificamos a equação do plano na forma geral . Nesse caso, , , , e . O vetor normal ao plano é .

Passo 3

Agora, observamos a reta . As equações paramétricas nos dizem que o vetor diretor da reta é .

Passo 4

Para verificar se a reta é paralela ao plano, calculamos o produto escalar entre o vetor diretor da reta d cdot n = (-1)(1) + (2)(-2) + (1)(1) = -1 - 4 + 1 = -4 e o vetor normal do plano :
Como o produto escalar não é zero ( ), a reta não é paralela ao plano.

Passo 5

Como a reta não é paralela, ela intersecta o plano em um ponto único. Para encontrar esse ponto, substituímos as equações paramétricas da reta na equação do plano:
x - 2y + z - 1 = 0 (1 - t) - 2(2t) + (2 + t) - 1 = 0 1 - t - 4t + 2 + t - 1 = 0 -4t + 2 = 0 -4t = -2 t = 12

Passo 6

Com x = 1 - 12 = 12 y = 2 ( 12 ) = 1 z = 2 + 12 = 52 , substituímos de volta nas equações da reta para encontrar as coordenadas do ponto de interseção:

Resposta

A reta intersecta o plano no ponto .

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