Qual a distância entre o ponto P(-2,2,1) e a reta r: x=2 t, y=1-t, z=2+t ?

Passo 1

Então, a gente vai resolver uma questão de Geometria Analítica. A parada é descobrir qual a distância entre um ponto específico, que é o , e uma reta dada pela equação paramétrica . Pra isso, vamos precisar entender como calcular a distância entre um ponto e uma reta no espaço, usando vetores e produtos vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os componentes da reta. A equação da reta está em termos de um parâmetro , então podemos escrever a reta como . Aqui, é qualquer número real.

Passo 3

A próxima coisa é encontrar o vetor de direção da reta. Observando as equações paramétricas, vemos que o vetor de direção é dado pelos coeficientes de , ou seja, .

Passo 4

Agora, precisamos de um ponto qualquer na reta para usar na fórmula. Vamos escolher para simplificar. Substituindo na equação da reta, temos o ponto .

Passo 5

Vamos construir o vetor entre o ponto PQ = P - Q = (-2 - 0, 2 - 1, 1 - 2) = (-2, 1, -1) e o ponto . Esse vetor é calculado subtraindo as coordenadas de das de :

Passo 6

A fórmula para a distância d = |PQ times v||v| entre o ponto e a reta é:
Aqui, representa o produto vetorial, e representa o módulo do vetor.

Passo 7

Vamos calcular o produto vetorial PQ times v = i & j & k -2 & 1 & -1 2 & -1 & 1 = i(1 cdot 1 - (-1) cdot (-1)) - j(-2 cdot 1 - (-1) cdot 2) + k(-2 cdot (-1) - 1 cdot 2) :
= i(1 - 1) - j(-2 - (-2)) + k(2 - 2) = i(0) - j(0) + k(0) = (0, 0, 0)
Hmm, deu zero, o que significa que os vetores são paralelos. Mas isso não faz sentido, vamos verificar os cálculos.

Passo 8

Vamos recalcular o produto vetorial com mais atenção:
PQ times v = i & j & k -2 & 1 & -1 2 & -1 & 1 = i(1 cdot 1 - (-1) cdot (-1)) - j(-2 cdot 1 - (-1) cdot 2) + k(-2 cdot (-1) - 1 cdot 2)
= i(1 - 1) - j(-2 - (-2)) + k(2 - 2) = i(0) - j(0) + k(0) = (0, 0, 0)
Parece que fiz uma confusão. Vamos tentar usar outra abordagem para calcular a distância.

Passo 9

Outra maneira de calcular a distância é usando a fórmula:
d = |v times PQ||v|
Onde v times PQ = i & j & k 2 & -1 & 1 -2 & 1 & -1 = i((-1)(-1) - 1 cdot 1) - j(2 cdot (-1) - 1 cdot (-2)) + k(2 cdot 1 - (-1) cdot (-2)) e = i(1 - 1) - j(-2 + 2) + k(2 - 2) = (0, 0, 0) .
Calculando o produto vetorial:
Parece que os vetores realmente são paralelos, o que implica que o ponto está na reta. Vamos verificar substituindo as coordenadas de na equação da reta.

Passo 10

Vamos ver se existe um valor de que satisfaça , , e .
De , temos .
Verificando e .
Como todas as equações são satisfeitas, o ponto está na reta. Portanto, a distância é zero.

Resposta

A distância entre o ponto e a reta é 0.

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