Então, a gente vai resolver uma questão de Geometria Analítica. A parada é descobrir qual a distância entre um ponto específico, que é o , e uma reta dada pela equação paramétrica . Pra isso, vamos precisar entender como calcular a distância entre um ponto e uma reta no espaço, usando vetores e produtos vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os componentes da reta. A equação da reta está em termos de um parâmetro , então podemos escrever a reta como . Aqui, é qualquer número real.
Passo 3
A próxima coisa é encontrar o vetor de direção da reta. Observando as equações paramétricas, vemos que o vetor de direção é dado pelos coeficientes de , ou seja, .
Passo 4
Agora, precisamos de um ponto qualquer na reta para usar na fórmula. Vamos escolher para simplificar. Substituindo na equação da reta, temos o ponto .
Passo 5
Vamos construir o vetor entre o ponto e o ponto . Esse vetor é calculado subtraindo as coordenadas de das de :
Passo 6
A fórmula para a distância entre o ponto e a reta é:
Aqui, representa o produto vetorial, e representa o módulo do vetor.
Passo 7
Vamos calcular o produto vetorial :
Hmm, deu zero, o que significa que os vetores são paralelos. Mas isso não faz sentido, vamos verificar os cálculos.
Passo 8
Vamos recalcular o produto vetorial com mais atenção:
Parece que fiz uma confusão. Vamos tentar usar outra abordagem para calcular a distância.
Passo 9
Outra maneira de calcular a distância é usando a fórmula:
d = |v times PQ||v|
Onde v times PQ = i & j & k 2 & -1 & 1 -2 & 1 & -1 = i((-1)(-1) - 1 cdot 1) - j(2 cdot (-1) - 1 cdot (-2)) + k(2 cdot 1 - (-1) cdot (-2)) e = i(1 - 1) - j(-2 + 2) + k(2 - 2) = (0, 0, 0) .
Calculando o produto vetorial:
Parece que os vetores realmente são paralelos, o que implica que o ponto está na reta. Vamos verificar substituindo as coordenadas de na equação da reta.
Passo 10
Vamos ver se existe um valor de que satisfaça , , e .
De , temos .
Verificando e .
Como todas as equações são satisfeitas, o ponto está na reta. Portanto, a distância é zero.