Determine o interval máximo de definição das soluções dadas abaixo:
, solução do PVI
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial inicial (PVI) que nos dá uma solução específica:
. Nosso objetivo é encontrar o maior intervalo possível de
onde essa solução está definida. Para isso, precisamos entender conceitos de equações diferenciais e identificar onde a solução pode ou não existir.
Passo 2
Primeiro, vamos observar a equação diferencial dada:
Aqui,
representa a derivada de
em relação a
. A solução proposta é
. Para verificar onde essa solução é válida, precisamos garantir que o denominador
não seja igual a zero, porque divisão por zero é indefinida.
Passo 3
Vamos identificar onde o denominador
se anula:
Em
, a expressão
se torna indefinida. Portanto, a solução
não está definida naquele ponto. Isso significa que devemos excluir
do intervalo onde a solução é válida.
Passo 4
Além disso, consideramos o ponto inicial dado
. Ao substituir
na solução
, temos:
Isso confirma que a solução satisfaz a condição inicial. Agora, precisamos determinar o intervalo máximo onde
pode variar sem que a solução se torne indefinida.
Passo 5
Como identificamos que
é o único ponto que causa problema na definição da solução, o intervalo máximo de definição será todo o conjunto de números reais exceto
. Isso pode ser representado da seguinte forma:
Resposta
O intervalo máximo de definição das soluções é todos os números reais exceto
. Ou seja,
Exercícios relacionados
Resolva o problema de valor inicial abaixo, encontrando o intervalo máximo de definição da solução:
Dê o domínio da funcão
.
Resolva a equação diferencial
e faça um esboço da família das soluções encontrada. Para cada uma das condições iniciais abaixo, resolva o problema de valor inicial correspondente, encontrando o intervalo máximo de definição da solução:
a)
b)
c)
a)
b)
c)