Determine o interval máximo de definição das soluções dadas abaixo:
, solução do PVI

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial inicial (PVI) que nos dá uma solução específica: . Nosso objetivo é encontrar o maior intervalo possível de onde essa solução está definida. Para isso, precisamos entender conceitos de equações diferenciais e identificar onde a solução pode ou não existir.

Passo 2

Primeiro, vamos observar a equação diferencial dada:
Aqui, representa a derivada de em relação a . A solução proposta é . Para verificar onde essa solução é válida, precisamos garantir que o denominador não seja igual a zero, porque divisão por zero é indefinida.

Passo 3

Vamos identificar onde o denominador se anula:
Em , a expressão se torna indefinida. Portanto, a solução não está definida naquele ponto. Isso significa que devemos excluir do intervalo onde a solução é válida.

Passo 4

Além disso, consideramos o ponto inicial dado . Ao substituir na solução , temos:
Isso confirma que a solução satisfaz a condição inicial. Agora, precisamos determinar o intervalo máximo onde pode variar sem que a solução se torne indefinida.

Passo 5

Como identificamos que é o único ponto que causa problema na definição da solução, o intervalo máximo de definição será todo o conjunto de números reais exceto . Isso pode ser representado da seguinte forma:

Resposta

O intervalo máximo de definição das soluções é todos os números reais exceto . Ou seja,

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Resolva o problema de valor inicial abaixo, encontrando o intervalo máximo de definição da solução:
Dê o domínio da funcão .
Resolva a equação diferencial
e faça um esboço da família das soluções encontrada. Para cada uma das condições iniciais abaixo, resolva o problema de valor inicial correspondente, encontrando o intervalo máximo de definição da solução:
a)
b)
c)