Resolva a equação diferencial
y' = x / (2 + y)
e faça um esboço da família das soluções encontrada. Para cada uma das condições iniciais abaixo, resolva o problema de valor inicial correspondente, encontrando o intervalo máximo de definição da solução:
a) y(0) = 0
b) y(-3) = -3
c) y(-2)=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial . Hoje vamos mexer com equações diferenciais de primeira ordem, especificamente as que são separáveis. Para resolver, vamos precisar separar as variáveis e integrar ambos os lados da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para separar as variáveis e . Multiplicando ambos os lados por , ficamos com:

Passo 3

Agora, vamos integrar ambos os lados. A ideia aqui é encontrar uma função cuja derivada seja igual à expressão que temos. Então, integramos cada lado:

Passo 4

Calculando as integrais:
onde é a constante de integração.

Passo 5

Vamos reorganizar a expressão para deixar tudo em um lado:
Aqui, é uma nova constante que combina as constantes anteriores.

Passo 6

Agora, temos a família geral das soluções da equação diferencial:
Isso representa todas as soluções possíveis da equação.

Passo 7

Vamos resolver para cada condição inicial:

a)

Substituindo e na equação geral:
Então, a solução particular é:

Passo 8

Para encontrar o intervalo máximo de definição, observamos onde a solução está bem definida. A equação pode ser reescrita como:
Completando o quadrado:
Isso mostra que para todo , a expressão está definida. Portanto, o intervalo máximo é todo o conjunto dos números reais.

Resposta

A solução particular para a condição inicial é dada por e está definida para todo real.

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