Resolva a equação diferencial
e faça um esboço da família das soluções encontrada. Para cada uma das condições iniciais abaixo, resolva o problema de valor inicial correspondente, encontrando o intervalo máximo de definição da solução:
a)
b)
c)
a)
b)
c)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial
. Hoje vamos mexer com equações diferenciais de primeira ordem, especificamente as que são separáveis. Para resolver, vamos precisar separar as variáveis e integrar ambos os lados da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para separar as variáveis
e
. Multiplicando ambos os lados por
, ficamos com:
Passo 3
Agora, vamos integrar ambos os lados. A ideia aqui é encontrar uma função cuja derivada seja igual à expressão que temos. Então, integramos cada lado:
Passo 4
Calculando as integrais:
onde
é a constante de integração.
Passo 5
Vamos reorganizar a expressão para deixar tudo em um lado:
Aqui,
é uma nova constante que combina as constantes anteriores.
Passo 6
Agora, temos a família geral das soluções da equação diferencial:
Isso representa todas as soluções possíveis da equação.
Passo 7
Vamos resolver para cada condição inicial:
a)
Substituindo
e
na equação geral:
Então, a solução particular é:
Passo 8
Para encontrar o intervalo máximo de definição, observamos onde a solução está bem definida. A equação
pode ser reescrita como:
Completando o quadrado:
Isso mostra que para todo
, a expressão está definida. Portanto, o intervalo máximo é todo o conjunto dos números reais.
Resposta
A solução particular para a condição inicial
é dada por
e está definida para todo
real.